Question

Решить дифференциальное уравнение y"+4y'+4y=0

Answer 1

Характеристическое уравнение
k² + 4k + 4 = 0
(k + 2)² = 0;
k₁ = k₂ = - 2

Общее решение однородного уравнения:
y = (C₁ + C₂х) * e^( - 2x)

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения второго порядка y" + 4y' + 4y = 0, мы можем использовать метод характеристического уравнения.

Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение, заменив производные соответствующими символами: r^2 + 4r + 4 = 0

Шаг 2: Решим полученное квадратное уравнение для нахождения корней r: (r + 2)^2 = 0 r + 2 = 0 r = -2

Шаг 3: Теперь, когда мы нашли корень характеристического уравнения, мы можем записать общее решение дифференциального уравнения: y(t) = c1 * e^(-2t) + c2 * t * e^(-2t)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Это общее решение, которое представляет собой сумму двух частей: первая часть c1 * e^(-2t) представляет собой экспоненциально затухающую функцию, а вторая часть c2 * t * e^(-2t) представляет собой экспоненциально затухающую функцию, умноженную на t.

Таким образом, решение дифференциального уравнения y" + 4y' + 4y = 0 имеет вид y(t) = c1 * e^(-2t) + c2 * t * e^(-2t), где c1 и c2 - произвольные постоянные.