Question

Интеграл( sin³x / cosx) dx = как решить?

Answer 1

Проще будет так t=sin(x) dt=d sin(x)=cos(x)dx получится интегра t^3dt=1/4 t^4 + c=1/4 sin(x) + C
Ну вообщем как то так

Answer 2

Для решения данного интеграла, можно воспользоваться методом замены переменной.

Интеграл ∫(sin³x / cosx) dx.

Сначала проведем замену переменной, где t = cosx. Тогда dt = -sinx dx.

Подставим это в интеграл: ∫(sin³x / cosx) dx = ∫(sin²x * sinx / cosx) dx.

Теперь заменим sinx / cosx на t: ∫(sin²x * t) dx.

Также заменим dx на -dt / sinx: ∫(-sin²x * t) dt.

Теперь разложим sin²x на 1 - cos²x: ∫(-(1 - cos²x) * t) dt.

Раскроем скобки: -∫(t - t * cos²x) dt.

Теперь разделим на два интеграла: -∫t dt + ∫(t * cos²x) dt.

Интегрируем каждый интеграл по отдельности:

-∫t dt = -t² / 2.

∫(t * cos²x) dt = ∫(t * (1 + cos2x) / 2) dt = (1/2) * ∫(t + t * cos2x) dt = (1/2) * (t²/2 + (1/2) * sin2x * t).

Теперь подставим обратно переменную x:

-∫t dt + ∫(t * cos²x) dt = -t²/2 + (1/2) * (t²/2 + (1/2) * sin2x * t) = -t²/2 + t²/4 + (1/4) * sin2x * t = (1/4) * (t²/2 + sin2x * t).

Теперь подставим обратно t = cosx:

(1/4) * (cos²x/2 + sin2x * cosx).

Таким образом, интеграл ∫(sin³x / cosx) dx равен (1/4) * (cos²x/2 + sin2x * cosx) + C, где C - произвольная постоянная.