Question

Составить ряд Маклорена для функции y=xe^ln3-x

Answer 1

1. Разложение функции f(x)=ex в ряд Маклорена.f(x)=f′(x)=f″(x)=…=f(n)(x)=…=ex.f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f(n)(0)=…=1.Составим для функции f(x)=ex формально ряд Маклорена: 1+ .Найдём области сходимости этого ряда. при любых x, следовательно, областью сходимости ряда является промежуток  (-∞;+∞). Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то   при любых х и тем более  при любыхх. Так как f(n+1)(x)=ex и f(n+1)(с)=eс, то =ec=0. Таким образом, имеет место разложение при x(-∞;+∞)ex=1+ .     (32)2. Разложение функции f(x)=sinx в ряд Маклорена.Вычислим производные данной функции.f′(x)=cosx=sin(x+), f″(x)=-sinx=sin(x+),f″′(x)=-cosx=sin(x+), f(4)(x)=sinx=sin(x+), …, f(n)(x)=sin(x+), … . Вычислим значения f(x) и производных в точке 0: f(0)=0, f′(0)=1, f″(0)=0, f″′(0)=-1, f(4)(0)=0, …, f(2n-1)(0)=(-1)n-1, f(2n)(0)=0.Исследуем остаточный член ряда.|Rn(x)|= = так как |sin(c+(n+1)|≤1. Переходя к пределу при n→∞, получаем  следовательно,  и . Рекомендуем показать самостоятельно, что областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Таким образом, имеет место разложение при x(-∞;+∞):sinx=x- .             (33)3. Разложение функции y=cosx в ряд Маклорена. Дифференцируя ряд (33), получаем разложение при        x(-∞;+∞):cosx=1- .            (34)4. Биномиальный ряд.Разложим в ряд Маклорена функцию f(x)=(1+x)m, где m≠0 – любое действительное число. Для этого вычислим производные: f′(x)=m(1+x)m-1, f″(x)=(m-1)m(1+x)m-2, f″′(x)=(m-2)(m-1)m(1+x)m-3, …, f(n)(x)=(m-n+1)…(m-2).(m-1)m(1+x)m-n, … Приx=0 получаем f(0)=1, f′(0)=m, f″(0)=(m-1)m,  f″′(0)=(m--2)(m-1)m, …, f(n)(0)=(m-n+1)…(m-2)(m-1)m, … .Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (-1;1) (на концах интервала ряд сходится или расходится в зависимости от конкретных значений m) и что . Таким образом, при x(-1;1) имеет место разложение:(1+x)m=1+++++…+ .            (35)Ряд (35) называется биномиальным рядом.5. Разложение функции f(x)=lnx в ряд Тейлора. При x=0 функция f(x)=lnx не определена, поэтому её нельзя разложить в ряд Маклорена. Разложим её в ряд Тейлора, например, по степеням (x-1). Для этого, вычислим производные: f′(x)=x-1, f″(x)=-1.x-2=-1!x-2, f″′(x)=1.2.x-3=2!x-3, f(4)(x)=-1.2.     .3.x-4=-3!x-4, …,  f(n)(x)=(-1)n-1.  .(n-1)!x-n, … .При x=1 получаем: f(1)=0, f′(1)=1, f″(1)=-1!, f″′(1)=2!, f(4)(1)=-3!, …, f(n)(1)=(-1)n-1(n-1)!, … .Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (0;2] и что . Таким образом, при x(0;2] имеет место разложение:lnx=.             (36)Заметим, что разложение функций в ряды Тейлора или Маклорена непосредственно часто связано с громоздкими вычислениями при нахождении производных и исследовании остаточного члена. На примерах покажем некоторые приёмы, позволяющие избежать этих трудностей. Примеры.1. Разложить в степенной ряд функцию .В формуле (32) сделаем замену переменной x=-t2, получим при            t(-∞;+∞). Переобозначая t на x, получим нужное разложение: при            x(-∞;+∞).2. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=.Очевидно, f(x)=. Обозначим x2=t и воспользуемся биноминальным рядом при m=-1.==1-t+t2-t3+…+(-1)n.tn+… , t(-1;1).          (37)Возвращаясь к переменной x, получаем разложение при x(-1;1):=1-x2+x4-x6+…+(-1)n.x2n+… .         (38)3. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=ln(1+x).Проинтегрируем обе части равенства (37) от 0 до x при x(-1;1). Получим илиln(1+x)=x .          (39)Можно показать, что ряд (39) имеет область сходимости     (-1;1].4. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=arctgx.Проинтегрируем обе части равенства (38) от 0 до x при x(-1;1): илиarctgx=x .         (40)Можно показать, что ряд (40) имеет область сходимости     [-1;1].

Answer 2

Для составления ряда Маклорена для функции y = xe^(ln3-x), нам необходимо найти значения производных этой функции в точке x = 0.

Сначала найдем первую производную функции y: y' = (xe^(ln3-x))' = (x)'e^(ln3-x) + x(e^(ln3-x))' = e^(ln3-x) - xe^(ln3-x)

Затем найдем вторую производную функции y: y'' = (e^(ln3-x) - xe^(ln3-x))' = (e^(ln3-x))' - (xe^(ln3-x))' = -e^(ln3-x) - (x)'e^(ln3-x) - x(e^(ln3-x))' = -e^(ln3-x) - e^(ln3-x) + x(e^(ln3-x)) = -2e^(ln3-x) + xe^(ln3-x)

Теперь найдем третью производную функции y: y''' = (-2e^(ln3-x) + xe^(ln3-x))' = (-2e^(ln3-x))' + (xe^(ln3-x))' = 2e^(ln3-x) - (x)'e^(ln3-x) - x(e^(ln3-x))' = 2e^(ln3-x) - e^(ln3-x) + x(e^(ln3-x)) = e^(ln3-x) + xe^(ln3-x)

Таким образом, мы нашли первые три производные функции y. Теперь мы можем составить ряд Маклорена для этой функции, используя значения этих производных в точке x = 0:

y = y(0) + y'(0)x + (y''(0)x^2)/2! + (y'''(0)x^3)/3! + ...

y(0) = 0e^(ln3-0) = 0 y'(0) = e^(ln3-0) - 0e^(ln3-0) = e^ln3 = 3 y''(0) = -2e^(ln3-0) + 0e^(ln3-0) = -2e^ln3 = -6 y'''(0) = e^(ln3-0) + 0e^(ln3-0) = e^ln3 = 3

Итак, ряд Маклорена для функции y = xe^(ln3-x) имеет вид:

y = 0 + 3x - 6x^2/2! + 3x^3/3! + ...

Таким образом, ряд Маклорена для данной функции можно представить в виде бесконечной суммы, где каждый следующий элемент зависит от степени x и значения производной в точке x = 0.