Question

Решить уравнение в простых числах x²-2y²=1

Answer 1

Единственное четное простое число - это 2. Видим, что x=2 нас не устраивает, так как при этом в правой части получается четное число. 
Если y=2, то x^2-8=1; x=3 - нашли одно решение.

y=3 не подходит: x^2-18=1; x^2=19 - не является полным квадратом.

Далее мы можем предположить, что x и y больше 3.

Все целые числа делятся на три категории - вида 3k, 3k+1 и 3k-1, а так как мы предположили, что x и y больше 3 (а к тому же они простые), то
они принадлежат второй или третьей категории. Возводя числа из этих категорий в квадрат, получаем числа из первой категории (ведь (3k+1)^2=9k^2+6k+1=3n+1 и (3k-1)^2=9k^2-6k=1=3m+1)

Для простоты перенесем 2y^2 направо, тогда правая часть =
2(3m+1)+1=6m+3=3(2m+1) делится на три, а левая на три не делится. Поэтому единственное решение -

это x=3; y=2

Answer 2

Данное уравнение является диофантовым уравнением Пелля. В общем виде оно выглядит так: \(x^2 - dy^2 = 1\), где \(d\) – целое число, не являющееся полным квадратом.

В вашем случае \(d = 2\). Решения этого уравнения можно найти, используя теорию диофантовых уравнений. Сначала найдем частное решение, а затем используем его для получения всех решений.

Очевидно, что одним из частных решений будет \(x = 3, y = 2\), так как \(3^2 - 2 \cdot 2^2 = 9 - 8 = 1\).

Теперь мы можем использовать это частное решение, чтобы получить все остальные решения. Общее решение может быть записано в виде:

\[ x + y\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^n \]

где \(n\) – любое целое число.

Таким образом, мы можем получить другие решения, возведя \(3 + 2\sqrt{2}\) в степень. Например, если взять \(n = 2\), то:

\[ (3 + 2\sqrt{2})^2 = 17 + 12\sqrt{2} \]

Тогда у нас есть новое решение: \(x = 17, y = 12\).

И так далее. Подставляя различные значения \(n\), мы получим бесконечное множество решений для данного диофантова уравнения.