Question

Докажите что функция нечётная если f(x)= x-1/x+2 - x+1/x-2

Answer 1

Для нечетное функции выполняет ся
f (-x)=-f (x)

Answer 2

Для того чтобы доказать, что функция f(x) = (x-1)/(x+2) - (x+1)/(x-2) является нечётной, мы должны показать, что она обладает свойством симметрии относительно начала координат.

Определение нечётной функции

Функция f(x) называется нечётной, если для любого значения аргумента x выполняется равенство f(-x) = -f(x). В других словах, функция является нечётной, если её значения симметричны относительно оси ординат.

Доказательство

Для начала, вычислим f(-x):

f(-x) = (-x-1)/(-x+2) - (-x+1)/(-x-2)

Далее, упростим это выражение:

f(-x) = (-x-1)/(-x+2) + (x-1)/(x+2)

Теперь, нам нужно показать, что f(-x) = -f(x). Для этого, вычислим -f(x):

-f(x) = -(x-1)/(x+2) + (x+1)/(x-2)

Теперь, упростим это выражение:

-f(x) = (1-x)/(x+2) + (x+1)/(x-2)

Обратите внимание, что f(-x) = -f(x) тогда и только тогда, когда f(-x) и -f(x) равны для любого значения x. Чтобы показать это, сравним f(-x) и -f(x):

(-x-1)/(-x+2) + (x-1)/(x+2) = (1-x)/(x+2) + (x+1)/(x-2)

Мы можем упростить это выражение путём общего знаменателя и сокращения подобных слагаемых:

(-x-1)(x-2) + (x-1)(-x+2) = (1-x)(x-2) + (x+1)(x+2)

Раскроем скобки и упростим:

-x^2 + 2x + x - 2 + x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 2x - x + 2 - x^2 + 2x + x + 2

Как видно, оба выражения равны друг другу. Это означает, что f(-x) = -f(x) для любого значения x.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что функция f(x) = (x-1)/(x+2) - (x+1)/(x-2) является нечётной, так как она удовлетворяет условию f(-x) = -f(x) для любого значения x. Это означает, что значение функции симметрично относительно оси ординат и подтверждает, что она является нечётной.