Question

1)Решить систему уравнения 2)Решить неравенство,используя метод интервалов (x+3)*(x+5)*(x-2)больше 03)Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии,если

Answer 1

$1) \left \{ {{x-2y = 2} \atop {xy=12}} \right. \\ \left \{ {{x = 2 + 2y} \atop {{(2+2y)y=12}} \right. \\ 2y + 2y^2 = 12\\ 2y^2 + 2y - 12 = 0 |:2 \\ y^2 + y - 6 = 0 \\ D = 1 + 24 = 25 \\ y_1_,_2 = \frac{-1б5}{2}; y_1 = 2; y_2 = -3 \\ x = 2 + 2y \\ x_1 = 2 + 2y_1 = 2 + 2 * 2 = 6 \\ x_2 = 2 + 2y_2 = 2 + 2 * (-3) = -4$
Ответ: (6;2);(-4; - 3)

$2) (x+3)(x+5)(x-2) < 0 \\ (x+3)(x+5)(x-2) = 0 \\ x + 3 = 0; x_1 = -3 \\ x+5 = 0; x_2 = -5\\ x - 2 = 0; x_3 = 2$
См. рис.

Не могу решить третье...

Answer 2

Конечно, давайте решим каждое из заданий.

1) Решение системы уравнений:

\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \]

Для решения этой системы уравнений можно использовать метод подстановки или метод сложения/вычитания уравнений.

Метод сложения/вычитания:

Умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от коэффициента 2 перед x:

\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 4x - 2y = 2 \end{cases} \]

Теперь сложим первое и второе уравнение:

\[ (x + y) + (4x - 2y) = 5 + 2 \]

\[ 5x - y = 7 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 5x - y = 7 \end{cases} \]

Снова сложим уравнения:

\[ (x + y) + (5x - y) = 5 + 7 \]

\[ 6x = 12 \]

\[ x = 2 \]

Теперь подставим значение x в одно из исходных уравнений, например, в первое:

\[ 2 + y = 5 \]

\[ y = 3 \]

Таким образом, решение системы уравнений: \( x = 2 \), \( y = 3 \).

2) Решение неравенства с использованием метода интервалов:

\[ (x + 3)(x + 5)(x - 2) > 0 \]

Для решения неравенства с помощью метода интервалов, нужно найти корни уравнения, приравнять их к нулю и построить интервалы на числовой прямой. Учитывая, что у нас уравнение имеет степень 3, корни будут x = -3, x = -5 и x = 2.

Построим интервалы на числовой прямой, используя эти корни:

\[ \text{---} -\infty \text{---} \leftarrow -5 \text{---} \leftarrow -3 \text{---} \leftarrow 2 \text{---} \leftarrow +\infty \text{---} \]

Теперь выберем по одной точке из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство. Например, выберем x = -4, x = 0, x = 3:

1. При \( x = -4: (-1)(1)(-6) > 0 \) - верно, так как произведение отрицательное. 2. При \( x = 0: (3)(5)(-2) > 0 \) - верно, так как произведение положительное. 3. При \( x = 3: (6)(8)(1) > 0 \) - верно, так как произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется при \( x \in (-\infty, -5) \cup (-3, 2) \cup (2, +\infty) \).

3) Найдем первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если начальный член \( a = 3 \) и каждый следующий член умножается на \( \frac{1}{2} \).

Первый член геометрической прогрессии обозначается как \( a \), знаменатель как \( r \).

\[ a = 3 \]

\[ r = \frac{1}{2} \]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии \( a = 3 \) и знаменатель \( r = \frac{1}{2} \).