Question

Интеграл от sin^2(x)cos^2(x) dx тригонометрическая функция

Answer 1

$\sin^2{x}\cdot\cos^2{x}={1\over4}\cdot(1-\cos{(2x)})(1+\cos{(2x)})={1\over4}\cdot(1-\cos^2{(2x)})\\ \int{1\over4}\cdot(1-\cos^2{(2x)})\mathrm{dx}={1\over4}\left (\int\mathrm{dx}-\int\cos^2{(2x)}\mathrm{dx} \right )={1\over4}x-{1\over8}\int\mathrm{dx}-{1\over8}\int\cos{(4x)}\mathrm{dx}={1\over8}x-{1\over32}\int\cos{(4x)}\mathrm{d(4x)}={1\over8}x-{\sin{(4x)}\over32}+C$

Answer 2

Интеграл от sin^2(x)cos^2(x) dx является тригонометрической функцией. Для решения этого интеграла мы можем использовать тригонометрические тождества и формулы.

Общая стратегия для решения этого интеграла - это приведение выражения sin^2(x)cos^2(x) к более простому виду, который можно легко проинтегрировать.

Используя тригонометрическое тождество sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2 и cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2, мы можем переписать выражение sin^2(x)cos^2(x) в виде:

sin^2(x)cos^2(x) = (1 - cos(2x))/2 * (1 + cos(2x))/2

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получим:

sin^2(x)cos^2(x) = (1 - cos^2(2x))/4

Теперь мы можем проинтегрировать это выражение. Для этого нам понадобится замена переменной. Пусть u = 2x, тогда du = 2dx.

Интеграл принимает вид:

∫ (1 - cos^2(u))/4 * (1/2) du

Упрощая выражение, получим:

∫ (1/8) - (cos^2(u)/8) du

Интегрируя по переменной u, получим:

(1/8)u - (1/8)∫cos^2(u) du

Теперь нам нужно проинтегрировать cos^2(u). Используя тригонометрическое тождество cos^2(u) = (1 + cos(2u))/2, получаем:

(1/8)u - (1/8)∫(1 + cos(2u))/2 du

Упрощая выражение, получим:

(1/8)u - (1/16)∫(1 + cos(2u)) du

Интегрируя по переменной u, получим:

(1/8)u - (1/16)(u + (1/2)sin(2u)) + C

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем:

(1/8)2x - (1/16)(2x + (1/2)sin(4x)) + C

Упрощая выражение, получим:

x/4 - x/8 - sin(4x)/32 + C

Таким образом, интеграл от sin^2(x)cos^2(x) dx равен:

x/4 - x/8 - sin(4x)/32 + C, где C - произвольная постоянная.