Question

Вычислите интегралы: 1. In(y)dy/y^2 2. dx/(корень x*y)-x 3. dz/1-sinz

Answer 1

$1)\; \; \int \frac{lny\cdot dy}{y^2}=[\, u=lny\; ,\; du=\frac{dy}{y}\; ,\; dv=\frac{dy}{y^2}\; ,\; v=\int \frac{dy}{y^2}=\int y^{-2}dy=\\\\= \frac{y^{-1}}{-1}=-\frac{1}{y}\, ]=[\, \int u\, dv=uv-\int v\, du]=\\\\=- \frac{lny}{y}+\int \frac{dy}{y^2}=-\frac{lny}{y}-\frac{1}{y} +C\\\\3)\; \; \int \frac{dz}{1-sinz}=[\, t=tg\frac{z}{2},\; sinz=\frac{2t}{1+t^2}\; ,\; dz=\frac{2\, dt}{1+t^2}\, ]=\\\\=\int \frac{2\, dt}{(1+t^2)\cdot (1-\frac{2t}{1+t^2})}=2\int \frac{dt}{t^2-2t+1}=2\int \frac{dt}{(t-1)^2} =2\cdot \frac{(t-1)^{-1}}{-1}=$

$=- \frac{2}{t-1}+C=- \frac{2}{tg\frac{x}{2}-1}+C\\\\\\\star \; \; \int (ax+b)^{n}= \frac{1}{a}\cdot \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} +C\; \; ,\; \; ax+b=t-1\; ,\; a=1\; ,\; n=-2$

P.S.  Во 2 примере ошибка в условии.

Answer 2

Вычисление интегралов

Давайте рассмотрим каждый из интегралов по отдельности и найдем их значения.

1. Интеграл: ∫ (ln(y)dy/y^2)

Для вычисления этого интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям.

Допустим, мы выберем u = ln(y), а dv = dy/y^2. Тогда получим du = (1/y)dy и v = -1/y.

Применяя формулу интегрирования по частям ∫ u dv = u v - ∫ v du, получаем:

∫ (ln(y)dy/y^2) = -ln(y)/y + ∫ (1/y^2)dy

Интеграл ∫ (1/y^2)dy легко вычисляется:

∫ (1/y^2)dy = -1/y

Теперь подставим это значение обратно в исходный интеграл:

∫ (ln(y)dy/y^2) = -ln(y)/y - (-1/y) = -ln(y)/y + 1/y

Таким образом, значение интеграла ∫ (ln(y)dy/y^2) равно -ln(y)/y + 1/y.

2. Интеграл: ∫ dx/(sqrt(x*y)-x)

Для вычисления этого интеграла рассмотрим замену переменных.

Пусть u = sqrt(x*y) - x, тогда du = (1/2)*1/sqrt(x*y) dy.

Выразим dy через dx: dy = 2*sqrt(x*y) dx.

Подставим эти значения в интеграл:

∫ dx/(sqrt(x*y)-x) = ∫ dx/u * (2*sqrt(x*y))

= 2 * ∫ sqrt(x*y) / u dx

= 2 * ∫ sqrt(x*y) / (sqrt(x*y) - x) dx

Данный интеграл является неопределенным интегралом Эйлера-Пуассона. Он не может быть выражен в элементарных функциях с помощью обычных функций и операций. Однако, его значение можно выразить через специальные функции, такие как эллиптические интегралы.

3. Интеграл: ∫ dz/(1-sin(z))

Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой тангенса половинного угла.

Заметим, что 1 - sin(z) = 2 * sin^2(z/2), и что sin(z) = 2 * tan(z/2) / (1 + tan^2(z/2)).

Пусть u = tan(z/2), тогда du = (1/2) * (1 + tan^2(z/2)) dz.

Подставим эти значения в интеграл:

∫ dz/(1 - sin(z)) = ∫ dz/(2 * sin^2(z/2))

= ∫ dz / (2 * (2 * tan^2(z/2) / (1 + tan^2(z/2)))^2)

= ∫ (1/8) * (1 + tan^2(z/2))^2 dz

= (1/8) * ∫ (1 + tan^2(z/2))^2 dz

Данный интеграл также является неопределенным интегралом, который не может быть выражен в элементарных функциях с помощью обычных функций и операций.

Результаты:

1. Интеграл ∫ (ln(y)dy/y^2) равен -ln(y)/y + 1/y.

2. Интеграл ∫ dx/(sqrt(x*y)-x) не может быть выражен в элементарных функциях и может быть выражен через специальные функции, такие как эллиптические интегралы.

3. Интеграл ∫ dz/(1-sin(z)) также не может быть выражен в элементарных функциях и может быть выражен через другие специальные функции.