Question

В угол С величиной 75° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, где О - центр окружности. Найдите угол АОВ.

Answer 1

Угол А и В прямые,т.к. ОА и ОВ - радиусы, проведённые к касательным.СО - биссектриса,т.к. равноудалена от сторон угла.
∠ОСВ = 75°/2= 37,5°
Найдём  ∠СОВ из прямоугольного треугольника СОВ ( по сумме углов треугольника):
180°-90°-37,5°=52,5°
Найдём ∠АОВ:
∠ АОВ=2∠СОВ
∠ АОВ = 2*52,5°=105°
Ответ: ∠ АОВ = 105°

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств окружностей и треугольников.

Рассмотрим угол С. По условию, вписанная окружность касается сторон угла С в точках А и В. Заметим, что отрезки ОА и ОВ являются радиусами окружности и, следовательно, равны друг другу.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, мы можем найти угол АОВ, используя следующие свойства:

1. Угол, заключенный между касательной и хордой, равен половине величины угла, опирающегося на эту хорду. В нашем случае, угол АОВ является половиной величины угла С (из-за того, что ОА и ОВ равны).

2. Угол, опирающийся на дугу, в два раза больше угла, заключенного между хордой и касательной, проведенной к этой хорде из точки касания. В нашем случае, угол С равен удвоенной величине угла АОВ.

Итак, угол АОВ равен половине угла С, а угол С равен 75°. Следовательно, угол АОВ равен половине 75°, то есть угол АОВ равен 37.5°.