Question

Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох, ограниченными линиями: y= - 4x^3, x=0, y=4 (y>=0) P.S. (в скобках у больше или равно 0) - что-то значок не прошёл как надо

Answer 1

-4x³ = 4

x³ = -1
x = -1

$V = \pi \int\limits^0_{-1} {(-4x^3)^2} \, dx = \pi \int\limits^0_{-1} {16x^6} \, dx =\\ = \pi *( \frac{16x^7}{7} )_{-1}^0=0- \pi * \frac{-16}{7} = \frac{16 \pi }{7}$

Answer 2

Я могу помочь вам вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох, ограниченными линиями: y = - 4x^3, x = 0, y = 4 (y >= 0). Для этого я буду использовать формулу для объема тела вращения вокруг оси абсцисс:

$$V = \pi \int_a^b f(x)^2 dx$$

где $f(x)$ - это функция, задающая верхнюю границу фигуры, а $a$ и $b$ - это левая и правая границы фигуры соответственно. В нашем случае $f(x) = - 4x^3$, $a = 0$ и $b = \sqrt[3]{1}$, так как это точка пересечения кривой $y = - 4x^3$ и прямой $y = 4$. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$$V = \pi \int_0^{\sqrt[3]{1}} (- 4x^3)^2 dx = \pi \int_0^{\sqrt[3]{1}} 16x^6 dx = \pi \left[ \frac{16}{7} x^7 \right]_0^{\sqrt[3]{1}} = \pi \left( \frac{16}{7} - 0 \right) = \frac{16 \pi}{7}$$

Ответ: объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох, ограниченными линиями: y = - 4x^3, x = 0, y = 4 (y >= 0), равен $\frac{16 \pi}{7}$.

Если вы хотите посмотреть рисунок тела вращения, вы можете использовать онлайн калькуляторы, например, [тот](https://mathforyou.net/online/calculus/volume/solid/) или [этот](https://allcalc.ru/node/972). Вам нужно будет ввести функцию, границы и ось вращения, и они покажут вам график тела вращения. Надеюсь, это было полезно для вас.