Question

Z=3x²-6xy-y³-12x+12y

Answer 1

z = 3*x^2-2*x*y+y^2-2*x-2*y+3

1. Найдем частные производные.

 

 

2. Решим систему уравнений.

6•x-2•y-2 = 0

-2•x+2•y-2 = 0

Получим:

а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:

x = 1/3•y+1/3

4/3•y-8/3 = 0

Откуда y = 2

Данные значения y подставляем в выражение для x. Получаем: x = 1

Количество критических точек равно 1.

M1(1;2)

3. Найдем частные производные второго порядка.

 

 

 

4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).

Вычисляем значения для точки M1(1;2)

 

 

 

AC - B2 = 8 > 0 и A > 0 , то в точке M1(1;2) имеется минимум z(1;2) = 0

Вывод: В точке M1(1;2) имеется минимум z(1;2) = 0; 

Answer 2

Для данного выражения Z = 3x² - 6xy - y³ - 12x + 12y, мы можем проанализировать его поэлементно, чтобы лучше понять его свойства и поведение.

Квадратичный член (3x²)

Первый член выражения - 3x² - является квадратичным членом, так как степень переменной x равна 2. Это означает, что график этого члена будет параболой, открывающейся вверх, поскольку коэффициент при x² положителен (3). Вершина этой параболы будет находиться в точке x = -b/2a = -(-12)/(2*3) = 2, где a и b - коэффициенты при x² и x соответственно. Таким образом, вершина параболы будет находиться в точке (2, Z).

Линейные члены (-6xy, -12x, 12y)

Следующие три члена в выражении -6xy, -12x и 12y - являются линейными членами, так как степень переменных x и y равна 1. Линейные члены представляют собой прямые линии в двумерном пространстве.

- Член -6xy: Этот член является произведением x и y с коэффициентом -6. Он представляет собой прямую, проходящую через начало координат (0,0) и имеющую наклон в зависимости от отношения коэффициентов x и y. Если x и y равны, то прямая будет проходить под углом 45 градусов от оси x. - Член -12x: Этот член представляет собой прямую линию с наклоном параллельным оси y. Она будет пересекать ось y в точке (0, -12) и стремиться к бесконечности при уходе от оси y. - Член 12y: Этот член также представляет собой прямую линию с наклоном параллельным оси x. Она будет пересекать ось x в точке (12, 0) и стремиться к бесконечности при уходе от оси x.

Кубический член (-y³)

Последний кубический член -y³ представляет собой функцию кубической параболы, открывающейся вниз. Он будет иметь вершину в точке (0, 0) и изменять свое значение в зависимости от значения переменной y. При увеличении y, значение этого члена будет уменьшаться, а при уменьшении y - увеличиваться.

Сумма всех членов

Суммируя все члены вместе, мы получаем общую форму выражения Z = 3x² - 6xy - y³ - 12x + 12y. График этого выражения будет комбинацией параболы, прямых линий и кубической параболы. Форма и положение графика будут зависеть от значений коэффициентов и переменных x и y.

Пример кода для построения графика:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Создание сетки значений x и y
x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = np.linspace(-10, 10, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# Вычисление значения Z для каждой точки сетки
Z = 3*X2 - 6*X*Y - Y3 - 12*X + 12*Y

# Построение графика
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')

plt.show()

Этот код использует библиотеки NumPy и Matplotlib в Python для построения трехмерного графика функции Z в зависимости от переменных x и y. График будет отображать форму и поведение выражения Z = 3x² - 6xy - y³ - 12x + 12y.