Question

Докажите, что на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в узлах сетки не может иметь площадь, которая в единицах измерения площади, равных площади одной клетки, записывается в виде несократимой дроби со знаменателем 4.

Answer 1

вот решение. Пусть есть такой треугольник. Тогда можно вокруг него дорисовать прямоугольник так. (Сетку дорисуйте сами так, чтобы вешины треуг. были в точках пересечения линий клеток. Нарисуйте на клетчатой бумаге)
 Площадь клетки есть 1(единица).
Тогда площадь нашего треугольника будет "площадь прямоугольника минус площади дополнительных треугольников". Площадь прямоугольника - натуральное число.
 Площадь любого доп. треугольника будет "основание * высоту /2"
И если либо основание, либо высота - четное, тогда площадь - натуральное. Если нечетное- тогда в знаменателе 2.
А сумма, разность натуральных с дробными со знаменателем 2 дает дробное со знаменателем 2, а никак не 4. Вот и все.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим сетку клетчатой бумаги, где каждая клетка имеет единичную площадь. Предположим, что треугольник с вершинами в узлах сетки имеет площадь, записываемую в виде несократимой дроби со знаменателем 4.

Пусть у нас есть треугольник ABC, где A, B и C - вершины треугольника, и они являются узлами сетки. Предположим, что площадь треугольника ABC равна 1/4 площади одной клетки.

Рассмотрим стороны треугольника. Поскольку вершины треугольника находятся в узлах сетки, стороны треугольника будут проходить по границам клеток. Пусть сторона AB проходит по границе между двумя клетками.

Теперь рассмотрим треугольник ABD, где D - середина стороны AB. Поскольку AB проходит по границе между двумя клетками, D будет находиться на полпути между этими двумя клетками. Таким образом, координаты точки D будут представлены в виде (x+0.5, y), где (x, y) - координаты целочисленной точки на сетке.

Аналогично, рассмотрим треугольник BCD. Точка E, являющаяся серединой стороны BC, будет иметь координаты (x+0.5, y+0.5).

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Точка F, являющаяся серединой стороны AC, будет иметь координаты (x, y+0.5).

Таким образом, мы получаем, что точки D, E и F имеют координаты с дробной частью 0.5. Однако, поскольку у нас имеется сетка с единичными клетками, координаты точек должны быть целыми числами. Это противоречие доказывает, что треугольник с вершинами в узлах сетки не может иметь площадь, записываемую в виде несократимой дроби со знаменателем 4.