Question

. Решите методом интервалов неравенство: а)(x+4)(x-1)≤0 б)x+6/x-2>4

Answer 1

А) рассмотрим функцию у=(х+4)(х-1) , найдем нули функции:
х1=-4, х2=1 получается 3 интервала: (-∞; -4)∪(-4;1)∪(1;+∞)
на 1 промежутке: у(-5)=(-5+4)(-5-1)>0
на 2 промежутке: у(0)=(0+4)(0-1)<0
на 3 промежутке: у(2)=(2+4)(2-1)>0
Ответ: [-4;1]
б) х≠0, преобразуем неравенство: (х²-6х+6)/х>0
рассмотрим функцию у=(х²-6х+6)/х
найдем нули функции и точки в которых функция не существует: х=0,
D/4=9-6=3, x1=3+√3, x2=3-√3
получили интервалы: (-∞;0)∪(0; 3-√3)∪(3-√3; 3+√3)∪(3+√3; +∞)
на 1 промежутке: у(-1)=(1+6+6)/(-1)<0
на 2 промежутке: у(1)>0
на 3 промежутке: у(2)<0
на 4 промежутке: у(5)>0
ответ: (0; 3-√3)∪(3+√3; +∞)

Answer 2

.........................................

Answer 3

Решение методом интервалов

а) (x+4)(x-1) ≤ 0

Для решения данного неравенства методом интервалов, мы должны определить значения x, при которых выражение (x+4)(x-1) равно нулю или отрицательно.

1. Найдем значения x, при которых (x+4)(x-1) = 0:

(x+4)(x-1) = 0

Используя свойство нулевого произведения, мы можем сказать, что один из множителей должен быть равен нулю:

x+4=0 или x-1=0

Решая эти уравнения, мы получаем:

x=-4 или x=1

Таким образом, у нас есть две точки, где (x+4)(x-1) равно нулю: x=-4 и x=1.

2. Теперь мы можем построить интервалы на числовой оси, используя эти точки и проверяя знак выражения (x+4)(x-1) в этих интервалах:

a. Когда x < -4: Значения x находятся слева от -4. Подставим x=-5 в выражение (x+4)(x-1): (-5+4)(-5-1) = (-1)(-6) = 6 Знак положительный (+)

b. Когда -4 < x < 1: Значения x находятся между -4 и 1. Подставим x=0 в выражение (x+4)(x-1): (0+4)(0-1) = (4)(-1) = -4 Знак отрицательный (-)

c. Когда x > 1: Значения x находятся справа от 1. Подставим x=2 в выражение (x+4)(x-1): (2+4)(2-1) = (6)(1) = 6 Знак положительный (+)

3. Из анализа знаков в каждом интервале, мы можем сделать следующие выводы:

(x+4)(x-1) ≤ 0, когда x принадлежит интервалу (-4, 1]

Таким образом, решением данного неравенства является интервал (-4, 1].

б) x+6/x-2 > 4

Для решения данного неравенства методом интервалов, мы должны определить значения x, при которых выражение x+6/x-2 больше 4.

1. Найдем значения x, при которых x+6/x-2 = 4:

x+6/x-2 = 4

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

x+6/x-2 - 4 = 0

Общий знаменатель равен x, поэтому мы можем умножить оба члена на x:

x^2 + 6 - 4x = 0

Перенесем все члены в правую часть уравнения:

x^2 - 4x + 6 = 0

Это квадратное уравнение не имеет рациональных корней, поэтому мы не можем найти точные значения x, при которых x+6/x-2 равно 4.

2. Однако, мы можем построить график функции y = x+6/x-2 и проанализировать его поведение. Затем мы можем определить интервалы, в которых y > 4:

- Построим график функции y = x+6/x-2:


- Из графика видно, что функция y = x+6/x-2 является гиперболой с асимптотами x = 2 и y = x. Функция принимает значения выше 4 только на интервалах, где она находится выше горизонтальной линии y = 4.

- Таким образом, решением данного неравенства является интервал (2, +∞).

Итак, мы получаем решение:

x+6/x-2 > 4, когда x принадлежит интервалу (2, +∞).