Question

В треугольнике АВС вписана окружность,касающаяся сторон АВ,ВС,АС в точках P,О,К соответственно.Известно,что прямые РО и АС паралелльны.Докажите что вк-медиана.

Answer 1

Так как РО параллельно АС, то АР=ОС
Р,О,К- точки касания, значит, АР=АК и ОС=КС
следовательно, АК=КС и ВК-медиана

Answer 2

Задача и условия

В задаче дан треугольник ABC, в который вписана окружность, касающаяся сторон AB, BC и AC в точках P, O и K соответственно. Также известно, что прямые RO и AC параллельны. Нам нужно доказать, что VK является медианой треугольника ABC.

Доказательство

Для начала, давайте обратимся к свойствам вписанной окружности и касательных к ней.

Свойство 1: Если из точки внутри окружности провести касательные к окружности, то они будут равны по длине.

Теперь, обратим внимание на свойства параллельных линий.

Свойство 2: Если две прямые параллельны и пересекают третью прямую, то отрезки на этой третьей прямой, заключенные между параллельными прямыми, имеют одинаковые отношения длин.

Теперь давайте приступим к доказательству.

Шаг 1: Пусть M - точка пересечения медианы VK и стороны AC.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник VOM.

Шаг 3: Прямые RO и AC параллельны по условию.

Шаг 4: Поскольку RO и AC параллельны, то отрезки AM и CK имеют одинаковое отношение длин, так как AM и CK являются медианами треугольника ABC.

Шаг 5: Рассмотрим треугольник AVK.

Шаг 6: По свойству 1 касательные к вписанной окружности из точки V равны по длине: VP = VK.

Шаг 7: Рассмотрим треугольник VOK.

Шаг 8: Так как VP = VK (по шагу 6) и RO || AC (по условию), то по свойству 2 отрезки AM и CK имеют одинаковое отношение длин.

Шаг 9: Значит, треугольник VOM является подобным треугольнику VOK (по пропорциональности сторон).

Шаг 10: Теперь мы можем использовать свойство 2 еще раз: отрезки OM и OK имеют одинаковое отношение длин.

Шаг 11: Поскольку OM и OK имеют одинаковое отношение длин, а VM и VK равны (по шагу 6), то треугольник VOM подобен треугольнику VOK (по пропорциональности сторон).

Шаг 12: Таким образом, мы доказали, что треугольник VOM подобен треугольнику VOK.

Шаг 13: По свойству подобных треугольников, соответствующие стороны таких треугольников пропорциональны.

Шаг 14: Значит, отрезки VM и VK имеют одинаковое отношение длин.

Шаг 15: Но VM и VK равны (по шагу 6).

Шаг 16: Значит, отрезки VM и VK равны и, следовательно, VK является медианой треугольника ABC.

Вывод

Мы доказали, что VK является медианой треугольника ABC, используя свойства вписанной окружности и параллельных линий.