Question

Даны точки A(3;-1;5) B(2;3;-4) C(7;0;-1) D(8;-4;8). Докаите что веторы AB и DC равны. Равны ли векторы BC и AD?

Answer 1

векторы равны если они сонаправлены и их длины равны

вектор AB{-1; 4; -9}

вектор DC{-1; 4; -9}

векторы сонаправлены

длина вектора $AB=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-9)^2}=\sqrt{1+16+81}=\sqrt{98}=7\sqrt2$

длина вектора  $DC=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-9)^2}=\sqrt{1+16+81}=\sqrt{98}=7\sqrt2$

так как они сонаправлены и их длины равны то векторы  AB и DC равны

 

вектор BC{5; -3; 3}

вектор AD{5; -3; 3}

векторы сонаправлены

длина вектора $BC=\sqrt{5^2+(-3)^2+3^2}=\sqrt{25+9+9}=\sqrt{43}$

длина вектора  $AD=\sqrt{5^2+(-3)^2+3^2}=\sqrt{25+9+9}=\sqrt{43}$

 так как они сонаправлены и их длины равны то векторы  ВС и АD равны

Answer 2

Доказательство равенства векторов AB и DC

Для доказательства равенства векторов AB и DC, мы можем использовать координатный метод. Вектор AB можно получить вычислив разность координат точек B и A, а вектор DC - разность координат точек C и D.

Вектор AB: AB = B - A = (2 - 3, 3 - (-1), -4 - 5) = (-1, 4, -9)

Вектор DC: DC = C - D = (7 - 8, 0 - (-4), -1 - 8) = (-1, 4, -9)

Мы видим, что вектор AB и вектор DC имеют одинаковые координаты (-1, 4, -9). Следовательно, вектор AB равен вектору DC.

Проверка равенства векторов BC и AD

Для проверки равенства векторов BC и AD также используем координатный метод.

Вектор BC: BC = C - B = (7 - 2, 0 - 3, -1 - (-4)) = (5, -3, 3)

Вектор AD: AD = D - A = (8 - 3, -4 - (-1), 8 - 5) = (5, -3, 3)

Мы видим, что вектор BC и вектор AD имеют одинаковые координаты (5, -3, 3). Поэтому вектор BC также равен вектору AD.

Таким образом, мы доказали, что векторы AB и DC равны, а векторы BC и AD также равны.