Question

Функция u=f(x;y) задана неявно уравнением 2u^3+u^2y+2uxy-1=0. Найдите частную производную этой функции по переменной x в точке A(-1;-1).

Answer 1

Найдем чему равна функция u=f(x;y)  в точке A(-1 ; -1)

2u³-u²+2u-1=0
u²(2u-1)+(2u-1)=0
(u²+1)(2u-1)=0
{u²+1=0 = > действительных корней нет
{2u-1=0 = > 2u=1 => u=0.5

U(-1, -1) =0.5 

6u²(du/dx)+2yu(du/dx)+2uy+2xy(du/dx)=0
при U=f(-1, -1) =0.5 
6*0.25 (du/dx)+2*(-1)*0.5(du/dx)+2*0.5*(-1)+2*(-1)*(-1) (du/dx)=0
1.5 (du/dx) -1 (du/dx) -1 +2(du/dx)=0
1.5 (du/dx) -1 (du/dx) +2(du/dx)=1
(du/dx) (1.5-1+2)=1
(du/dx)*2.5=1
du/dx=1/2.5=0.4
du/dx(-1 ; -1) =0.4

Answer 2

Для нахождения частной производной функции u=f(x;y) по переменной x в точке A(-1;-1), нам необходимо применить частное дифференцирование.

Для начала, найдем явное выражение для функции u=f(x;y) из неявного уравнения.

Уравнение: 2u^3 + u^2y + 2uxy - 1 = 0

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые, содержащие u, на одну сторону:

2u^3 + u^2y + 2uxy = 1

Теперь выразим u через x и y:

u^3 + 1/2 * u^2y + uxy = 1/2

u(u^2 + 1/2 * uy + xy) = 1/2

u = (1/2) / (u^2 + 1/2 * uy + xy)

Теперь, чтобы найти частную производную функции u по переменной x в точке A(-1;-1), подставим значения x = -1 и y = -1 в полученное выражение для u:

u = (1/2) / (u^2 + 1/2 * uy + xy)

u = (1/2) / (u^2 + 1/2 * (-1)(-1) + (-1)(-1))

u = (1/2) / (u^2 + 1/2 + 1)

u = (1/2) / (u^2 + 3/2)

Теперь найдем частную производную функции u по переменной x, используя формулу для частного дифференцирования:

∂u/∂x = (∂u/∂x) * (∂x/∂x) + (∂u/∂y) * (∂y/∂x)

Так как точка A(-1;-1) задана, то значение ∂x/∂x равно 1 и ∂y/∂x равно 0.

Теперь найдем ∂u/∂x:

∂u/∂x = (1/2) * (1 / (u^2 + 3/2)) * (∂u/∂x)

Мы знаем, что ∂u/∂x = du/dx, где du - дифференциал функции u, dx - дифференциал переменной x.

Таким образом, частная производная функции u по переменной x в точке A(-1;-1) равна:

∂u/∂x = (1/2) * (1 / (u^2 + 3/2)) * du/dx

Для полного решения задачи, необходимо знать значение du/dx, которое не указано в постановке задачи.