Question

∫ из корень (16-x^2) dx=?

Answer 1

$\int\limits { \sqrt{16- x^{2} } } \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{16- x^{2} } + \frac{16}{2}arcsin \frac{x}{4}+C= \frac{x}{2} \sqrt{16- x^{2} } + 8arcsin \frac{x}{4}+C$

Answer 2

Интеграл от корня (16-x^2) dx

Интеграл от корня (16-x^2) dx может быть вычислен с использованием метода подстановки. Давайте начнем с преобразования выражения под знаком корня.

Преобразование выражения под знаком корня Мы можем записать 16-x^2 как (4^2 - x^2), что представляет разность квадратов. Поэтому, мы можем использовать формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).

Таким образом, 16-x^2 = (4 + x)(4 - x).

Теперь мы можем переписать интеграл ∫ из корень (16-x^2) dx в следующем виде: ∫ из корень ((4 + x)(4 - x)) dx.

Подстановка Для того чтобы провести интегрирование, мы можем воспользоваться методом подстановки, используя следующую замену: z = 4 - x, dz = -dx.

Теперь мы можем выразить x через z: x = 4 - z.

Таким образом, наш интеграл примет вид: -∫ из корень (z(4 + (4 - z))) dz.

Вычисление интеграла Теперь мы можем вычислить интеграл: -∫ из корень (z(8 - z)) dz.

Далее, мы можем вынести константу за знак интеграла: -∫ из корень z(8 - z) dz = -∫ из корень (8z - z^2) dz.

Интегрирование каждого слагаемого по отдельности даст нам: -(8/2)∫ из корень z dz + (1/3)∫ из корень z^2 dz.

Решение интегралов Интеграл ∫ из корень z dz = (2/3)z^(3/2) + C1, Интеграл ∫ из корень z^2 dz = (2/5)z^(5/2) + C2.

Где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Возвращение к исходной переменной Теперь, мы можем вернуться к исходной переменной x, используя замену z = 4 - x: -(8/2)(4 - x)^(3/2) + C1 + (1/3)(4 - x)^(5/2) + C2.

Таким образом, окончательный ответ на интеграл от корня (16-x^2) dx будет: **-(4/3)(4 - x)^(3/2) + (1/3)(4 - x)^(5/2) + C, где C - произвольная постоянная.**