Question

Найти лимит (n стремится к бесконечности) 1/n!

Answer 1

Этот предел будет равен нулю, так как делим на бесконечно большое число

Answer 2

Для нахождения предела выражения 1/n! при n, стремящемся к бесконечности, мы можем использовать определение предела.

По определению предела, для любого положительного числа ε существует натуральное число N, такое что, если n > N, то |1/n! - L| < ε, где L - искомый предел.

Давайте найдем значение L. Рассмотрим выражение 1/n!. Нам нужно найти предел этого выражения при n, стремящемся к бесконечности.

n! (n-факториал) - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Таким образом, n! = 1 * 2 * 3 * ... * (n-1) * n.

Для упрощения вычислений, давайте разделим числитель и знаменатель на n!.

1/n! = 1 / (1 * 2 * 3 * ... * (n-1) * n)

Мы можем заметить, что каждый член знаменателя это число, меньшее или равное n. Таким образом, знаменатель всегда больше или равен числителю.

Это означает, что 1/n! всегда меньше или равно 1.

Так как 1/n! ограничено сверху числом 1, мы можем выбрать L = 1.

Теперь мы можем использовать определение предела для доказательства этого.

Для любого положительного числа ε, мы должны найти натуральное число N, такое что, если n > N, то |1/n! - 1| < ε.

Заметим, что |1/n! - 1| = 1/n! - 1 < 1 - 1 = 0.

Таким образом, независимо от значения ε, мы всегда можем выбрать N = 1, так как для любого n > 1 верно, что |1/n! - 1| < ε.

Итак, предел выражения 1/n! при n, стремящемся к бесконечности, равен 1.