Question

В заключительном туре математической олимпиады приняло участие 16 восьмиклассников. Никакие двое из них не набрали одинакового кол-ва баллов. 1) Мог ли учащийся, занявший первое место, набрать 25 баллов, если вместе все участники набрали 281 балл 2) Мог ли учащийся, занявший первое место, набрать 25 баллов, если вместе все участники набрали 219 баллов, но каждый набрал более пяти баллов? 3) Сколько было призеров, если известно, что каждый из них набрал не менее 24 баллов, но не более 30, а вместе они набрали 138 баллов?

Answer 1

1) 15 учеников набрали 281 - 25 = 256 баллов

возьмем сумму чисел меньше 25:

24 + 23 + 22 + ... + 10 = 34*15/2 = 255 < 256 - противоречие

Ответ: не мог

2) 15 учеников набрали 219 - 25 = 194 баллов

возьмем сумму наименьших возможных чисел:

6 + 7 + 8 + ... + 20 = 26*15/2 =  195 > 194 - противоречие

Ответ: не мог

3) 24 + 25 = 49 - сумма двух самых маленьких баллов
49 + 26 = 75 - трех
75 + 27 = 102 - четырех
102 + 28 = 130 (не более 5) - пяти (если добавить еще одного, будет больше 138)

например: 24;  27; 28; 29; 30

Ответ: 5

Answer 2

Заключительный тур математической олимпиады

В заключительном туре математической олимпиады приняло участие 16 восьмиклассников. Известно, что никакие двое из них не набрали одинакового количества баллов. Давайте рассмотрим каждый вопрос по отдельности.

1) Мог ли учащийся, занявший первое место, набрать 25 баллов, если вместе все участники набрали 281 балл?

Для ответа на этот вопрос нам необходимо узнать, сколько баллов набрали остальные участники. Поскольку никакие двое из них не набрали одинакового количества баллов, мы можем предположить, что остальные 15 участников набрали разное количество баллов.

Пусть сумма баллов всех участников, кроме первого места, равна S. Тогда мы можем записать уравнение:

25 + S = 281

Решая это уравнение, мы можем найти значение S:

S = 281 - 25 = 256

Таким образом, сумма баллов всех участников, кроме первого места, равна 256. Поскольку каждый участник набрал разное количество баллов, мы не можем точно определить, какое количество баллов набрали остальные участники.

2) Мог ли учащийся, занявший первое место, набрать 25 баллов, если вместе все участники набрали 219 баллов, но каждый набрал более пяти баллов?

Для ответа на этот вопрос также необходимо узнать, сколько баллов набрали остальные участники. Поскольку никакие двое из них не набрали одинакового количества баллов, мы можем предположить, что остальные 15 участников набрали разное количество баллов.

Пусть сумма баллов всех участников, кроме первого места, равна S. Тогда мы можем записать уравнение:

25 + S = 219

Решая это уравнение, мы можем найти значение S:

S = 219 - 25 = 194

Таким образом, сумма баллов всех участников, кроме первого места, равна 194. Поскольку каждый участник набрал более пяти баллов, мы можем сделать вывод, что остальные участники набрали не менее 5 баллов каждый. Однако, мы не можем точно определить, какое количество баллов набрали остальные участники.

3) Сколько было призеров, если известно, что каждый из них набрал не менее 24 баллов, но не более 30, а вместе они набрали 138 баллов?

Для ответа на этот вопрос, мы можем предположить, что каждый призер набрал максимальное количество баллов, то есть 30. Тогда мы можем записать уравнение:

30x = 138

Где x - количество призеров. Решая это уравнение, мы можем найти значение x:

x = 138 / 30 ≈ 4.6

Таким образом, получаем, что количество призеров около 4.6. Однако, поскольку количество призеров должно быть целым числом, мы можем сделать вывод, что было 4 призера.

Итоговые ответы:

1) Мы не можем точно определить, сколько баллов набрали остальные участники, если первое место набрал 25 баллов. 2) Мы не можем точно определить, сколько баллов набрали остальные участники, если первое место набрал 25 баллов, но каждый набрал более пяти баллов. 3) Было 4 призера, если каждый из них набрал не менее 24 баллов, но не более 30, а вместе они набрали 138 баллов.

Пожалуйста, обратите внимание, что данные ответы основаны на предположениях и уравнениях, и мы не можем точно определить значения без дополнительной информации о распределении баллов среди участников.