Question

Lim n-> бесконечность n³-7 ------- 4n³+4n²+n

Answer 1

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^3-7}{4n^3+4n^2+n}=^\frac{\infty}{\infty}= \lim_{n \to \infty} \frac{n^3(1-\frac{7}{n^3})}{n^3(4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2})}=\frac{1}{4}$

Answer 2

Для данного предела, где n стремится к бесконечности, мы можем использовать правило Лопиталя, чтобы упростить выражение и найти ответ.

Правило Лопиталя говорит, что если предел функций f(x) и g(x) при x стремится к бесконечности равен неопределенности вида 0/0 или ∞/∞, то предел отношения f(x)/g(x) равен пределу отношения производных f'(x)/g'(x), при условии, что этот последний предел существует или тоже является неопределенностью 0/0 или ∞/∞.

Применим это правило к данной задаче. Поделим числитель и знаменатель на n³, чтобы получить:

lim (n → ∞) (n³ - 7) / (4n³ + 4n² + n)

После деления на n³, выражение принимает следующий вид:

lim (n → ∞) (1 - 7/n³) / (4 + 4/n + 1/n³)

Теперь мы можем применить правило Лопиталя еще раз, так как полученные числитель и знаменатель все еще имеют вид неопределенности 0/0:

lim (n → ∞) (-21/n⁴) / (-4/n² - 1/n⁴)

Для удобства идем дальше и умножаем числитель и знаменатель на n⁴:

lim (n → ∞) (-21) / (-4n² - 1)

При n стремящемся к бесконечности, знаменатель становится очень большим, и поэтому предел равен:

lim (n → ∞) (-21) / (-4n² - 1) = 0

Таким образом, ответ на данный предел равен 0.