Question

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 2, точка М — середина ребра АВ, точка О — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды. Найдите расстояние от точки С до прямой MF.

Answer 1

Проведём осевое сечение пирамиды через ребро SC.
Медиана основания СМ (она же и высота) равна m = a*cos 30 = 2*√3/2 = √3. Точкой О она делится 2:1. ОМ = (1/3)СМ = √3/3 = 1/√3.
Отрезок СО = (2/3)СМ = 2√3/3 = 2/√3
Высота данной пирамиды (по заданию это правильный тетраэдр) равна Н = а(√(2/3)) = 2√2 / √3.
Отрезок ОF равен 1/4 части высоты: OF = 2√2/(√3*4) = √2/(2√3) = 1/√6.
Отрезок MF равен √(OF² + OM²) = √((1/6) + (1/3)) = √(3/6) = 1/√2.
Отрезок СК - это перпендикуляр к продолжению отрезка MF. Длина его равна расстоянию от точки С до прямой MF.
Треугольники MFO и MKC подобны по двум углам.
Отсюда СК = (МС*OF/MF) = ((√3)*(1/√6)) / (1/√2) = 1.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства треугольной пирамиды и отношение точки деления отрезка. Давайте разберемся по шагам.

1. Найдем координаты точек M и О.

Учитывая, что точка М является серединой ребра АВ, и все ребра пирамиды равны 2, мы можем найти координаты точки М. Пусть координаты точки S будут (0, 0, 0), а координаты точки A будут (2, 0, 0). Тогда координаты точки M будут ((2 + 0) / 2, (0 + 0) / 2, (0 + 0) / 2), то есть (1, 0, 0).

Точка О является центром основания пирамиды. Учитывая, что все ребра пирамиды равны 2, координаты точки О будут ((2 + 0) / 2, (0 + 2) / 2, (0 + 0) / 2), то есть (1, 1, 0).

2. Найдем координаты точки F.

Учитывая, что точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, мы можем использовать формулу точки деления отрезка для нахождения координат точки F. Пусть координаты точки S будут (0, 0, 0), а координаты точки O будут (1, 1, 0).

Координаты точки F будут ((3 * 1 + 0) / (3 + 1), (3 * 1 + 0) / (3 + 1), (3 * 0 + 0) / (3 + 1)), то есть (3/4, 3/4, 0).

3. Найдем уравнение прямой MF.

Для этого нам понадобятся координаты точек M и F. Пусть координаты точки M будут (1, 0, 0), а координаты точки F будут (3/4, 3/4, 0).

Вектор направления прямой MF будет равен разности координат точек F и M: (3/4 - 1, 3/4 - 0, 0 - 0) = (-1/4, 3/4, 0).

Теперь, используя координаты точки M и вектор направления прямой MF, мы можем записать уравнение прямой в параметрической форме: x = 1 - (1/4)t y = (3/4)t z = 0

4. Найдем расстояние от точки C до прямой MF.

Для этого мы можем использовать формулу для расстояния между точкой и прямой в пространстве.

Расстояние d между точкой C и прямой MF можно вычислить по формуле: d = |(C - M) x (C - F)| / |MF|

где x обозначает векторное произведение, |...| обозначает длину вектора, а МF - направляющий вектор прямой MF.

Найдем векторное произведение (C - M) x (C - F): (C - M) = (2 - 1, 0 - 0, 0 - 0) = (1, 0, 0) (C - F) = (2 - 3/4, 0 - 3/4, 0 - 0) = (5/4, -3/4, 0)

(C - M) x (C - F) = ((0 * (-3/4) - 0 * (-3/4)), (0 * (5/4) - 0 * 0), (1 * (-3/4) - 1 * (5/4))) = (3/4, 0, -8/4) = (3/4, 0, -2)

Найдем длину вектора MF: |MF| = sqrt((-1/4)^2 + (3/4)^2 + 0^2) = sqrt(1/16 + 9/16 + 0) = sqrt(10/16) = sqrt(5/8) = sqrt(5) / 2

Теперь мы можем вычислить расстояние d: d = |(C - M) x (C - F)| / |MF| = |(3/4, 0, -2)| / (sqrt(5) / 2) = sqrt((3/4)^2 + (-2)^2) / (sqrt(5) / 2) = sqrt(9/16 + 4) / (sqrt(5) / 2) = sqrt(9/16 + 64/16) / (sqrt(5) / 2) = sqrt(73/16) / (sqrt(5) / 2) = sqrt(73) / (4 * sqrt(5)) = sqrt(73) / (4 * sqrt(5)) * (sqrt(5) / sqrt(5)) = sqrt(365) / 20

Таким образом, расстояние от точки C до прямой MF равно sqrt(365) / 20.