Question

Как решать квадратные уравнения в общем виде?

Answer 1



где {\displaystyle x} — неизвестное, {\displaystyle a}, {\displaystyle b}, {\displaystyle c} — коэффициенты, причём {\displaystyle \quad a\neq 0.}

Выражение {\displaystyle ax^{2}+bx+c} называют квадратным трёхчленом[1].

Корень — это значение переменной {\displaystyle x}, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия[1]:

{\displaystyle a} называют первым или старшимкоэффициентом,{\displaystyle b} называют вторым, средним или коэффициентом при {\displaystyle x},{\displaystyle c} называют свободным членом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент {\displaystyle a}:

{\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.}

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Answer 2

Solving Quadratic Equations in General Form

To solve a quadratic equation in the general form \(ax^2 + bx + c = 0\), where \(a\), \(b\), and \(c\) are constants and \(x\) is the variable, you can use the quadratic formula. The quadratic formula states that for any quadratic equation in the form \(ax^2 + bx + c = 0\), the solutions for \(x\) are given by:

Quadratic Formula: \[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

Where: - \(a\), \(b\), and \(c\) are the coefficients of the quadratic equation. - The term \(b^2 - 4ac\) is called the discriminant, denoted as \(D\).

Steps to Solve a Quadratic Equation

1. Calculate the Discriminant (\(D\)): - The discriminant, \(D\), is calculated as \(D = b^2 - 4ac\). - The value of the discriminant determines the nature of the solutions.

Example: For the quadratic equation \(4x^2 - 3x + 1 = 0\), where \(a = 4\), \(b = -3\), and \(c = 1\): \[D = (-3)^2 - 4*4*1 = 9 - 16 = -7\]

[[2 #]]

2. Determine the Nature of Solutions based on the Discriminant: - If \(D > 0\), the equation has two distinct real solutions. - If \(D = 0\), the equation has one real solution (a repeated root). - If \(D < 0\), the equation has no real solutions (complex roots).

3. Find the Solutions for \(x\): - Use the quadratic formula to find the values of \(x\) by substituting the values of \(a\), \(b\), \(c\), and \(D\) into the formula.

Example: For the quadratic equation \(4x^2 - 3x + 1 = 0\): \[x = \frac{{3 \pm \sqrt{{-7}}}}{{8}}\]

Since the discriminant is negative (\(D < 0\)), the solutions will be complex.

[[2 #]]

4. Special Cases: - If any of the coefficients \(a\), \(b\), or \(c\) are zero, the equation simplifies to a lower degree equation.

Examples: - If \(c = 0\), the equation becomes a product of linear factors. - If \(b = 0\), the equation can be factored to solve for \(x\). - If \(a = 0\), the equation becomes a linear equation.

[[4 #]]

In summary, to solve a quadratic equation in the general form, you can use the quadratic formula to find the solutions for \(x\) based on the coefficients \(a\), \(b\), and \(c\), and the discriminant \(D\).

If you have any specific quadratic equations you'd like to discuss or further questions about solving quadratic equations, feel free to ask!