Question

Исследовать функцию и построить график: f(x) = икс в 4 степени минус 10 икс в квадрате плюс 9

Answer 1

$f(x) = x^4 - 10x^2 + 9\\ f'(x) = 4x^3 - 20x = 4x(x^2-5)$

 

$\begin{cases} x \in (-\infty;-\sqrt{5})\cup(0;\sqrt{5})\\ f'(x) < 0 \end{cases} \begin{cases} x \in (-\sqrt{5};0)\cup(\sqrt{5};+\infty)\\ f'(x) > 0 \end{cases}$

 

следовательно точки -sqrt(5);0;sqrt(5) - точки перегиба

Answer 2

Функция f(x) = x^4 - 10x^2 + 9 является полиномом четвертой степени. Для исследования этой функции и построения ее графика, мы можем проанализировать ее основные характеристики, такие как область определения, монотонность, экстремумы, точки перегиба и поведение на бесконечности.

1. Область определения: Поскольку полином является функцией, то его область определения - это множество всех действительных чисел, то есть (-∞, +∞).

2. Монотонность: Для определения монотонности функции, мы должны найти ее производную. Возьмем производную от f(x): f'(x) = 4x^3 - 20x Для определения знака производной на различных интервалах, найдем корни производной: 4x^3 - 20x = 0 4x(x^2 - 5) = 0 x = 0, x = -√5, x = √5 Теперь мы можем построить таблицу знаков: x < -√5 | - | + | - -√5 < x < 0 | + | - | - 0 < x < √5 | + | + | - x > √5 | + | + | + Из таблицы знаков видно, что функция f(x) убывает на интервале (-∞, -√5) и возрастает на интервалах (-√5, 0) и (0, √5), а затем снова убывает на интервале (√5, +∞).

3. Экстремумы: Чтобы найти экстремумы функции, мы должны найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Мы уже нашли корни производной ранее: x = 0, x = -√5 и x = √5. Теперь мы можем определить тип каждой точки: - x = 0 - локальный минимум - x = -√5 - локальный максимум - x = √5 - локальный минимум

4. Точки перегиба: Чтобы найти точки перегиба функции, мы должны найти значения x, при которых вторая производная равна нулю или не существует. Возьмем вторую производную от f(x): f''(x) = 12x^2 - 20 Для определения точек перегиба, приравняем f''(x) к нулю: 12x^2 - 20 = 0 x^2 = 20/12 = 5/3 x = ±√(5/3) Таким образом, точки перегиба функции f(x) находятся при x = -√(5/3) и x = √(5/3).

Теперь построим график функции f(x) = x^4 - 10x^2 + 9:

[График функции]

На графике мы видим, что функция имеет три локальных экстремума и две точки перегиба. Она сначала возрастает на интервале (-∞, -√5), достигает локального максимума в точке x = -√5, затем убывает на интервале (-√5, 0), достигает локального минимума в точке x = 0, снова возрастает на интервале (0, √5), достигает локального минимума в точке x = √5, и, наконец, снова убывает на интервале (√5, +∞).