Question

Найти неопределенный интеграл sin^2 x cos x dx

Answer 1

......................................

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла от выражения sin^2(x) * cos(x) * dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле интегрирования по частям:

∫u * v dx = u * v - ∫v * du,

где u и v - функции от x, и du и dv - соответствующие дифференциалы этих функций.

Давайте применим этот метод к нашему интегралу. Первым шагом является выбор функций u и dv. Для удобства выберем u = sin^2(x) и dv = cos(x) * dx. Затем найдем du и v, взяв соответствующие дифференциалы от u и интегрируя dv.

Найдем du: du = d(sin^2(x)) = 2 * sin(x) * cos(x) dx.

Найдем v: ∫dv = ∫cos(x) dx = sin(x).

Теперь мы можем использовать формулу интегрирования по частям, чтобы выразить исходный интеграл через новые функции:

∫sin^2(x) * cos(x) dx = u * v - ∫v * du = sin^2(x) * sin(x) - ∫sin(x) * (2 * sin(x) * cos(x)) dx = sin^3(x) - 2 * ∫sin^2(x) * cos^2(x) dx.

Теперь у нас есть новый интеграл, который также содержит произведение sin^2(x) и cos^2(x). Чтобы его решить, мы можем использовать тождество тригонометрии sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы выразить cos^2(x) через sin^2(x):

cos^2(x) = 1 - sin^2(x).

Подставим это в наш интеграл:

∫sin^2(x) * cos^2(x) dx = ∫sin^2(x) * (1 - sin^2(x)) dx = ∫sin^2(x) - sin^4(x) dx.

Теперь мы можем разделить этот интеграл на два:

∫sin^2(x) * cos^2(x) dx = ∫sin^2(x) dx - ∫sin^4(x) dx.

Первый интеграл ∫sin^2(x) dx может быть решен с помощью формулы интегрирования синуса:

∫sin^2(x) dx = (1/2) * x - (1/4) * sin(2x) + C1,

где C1 - произвольная постоянная.

Второй интеграл ∫sin^4(x) dx также может быть решен, используя формулу интегрирования синуса и тождество синуса:

∫sin^4(x) dx = ∫(sin^2(x))^2 dx = ∫(1 - cos^2(x))^2 dx = ∫(1 - 2 * cos^2(x) + cos^4(x)) dx.

Разделим этот интеграл на три:

∫sin^4(x) dx = ∫dx - 2 * ∫cos^2(x) dx + ∫cos^4(x) dx = x - 2 * ∫(1/2) * (1 + cos(2x)) dx + ∫(1/8) * (1 + cos(2x))^2 dx = x - ∫(1/2) - (1/2) * cos(2x) dx + (1/8) * ∫(1 + 2 * cos(2x) + cos^2(2x)) dx = x - (1/2) * x - (1/4) * sin(2x) + (1/8) * ∫(1 + 2 * cos(2x) + (1/2) * (1 + cos(4x))) dx = (3/8) * x - (1/4) * sin(2x) + (1/16) * sin(4x) + C2,

где C2 - еще одна произвольная постоянная.

Теперь мы можем вернуться к исходному интегралу и заменить ∫sin^2(x) * cos(x) dx с использованием результатов, полученных выше:

∫sin^2(x) * cos(x) dx = sin^3(x) - 2 * (∫sin^2(x) * cos^2(x) dx) = sin^3(x) - 2 * (∫sin^2(x) dx - ∫sin^4(x) dx) = sin^3(x) - 2 * ((1/2) * x - (1/4) * sin(2x) + C1 - ((3/8) * x - (1/4) * sin(2x) + (1/16) * sin(4x) + C2)) = sin^3(x) - x + (1/2) * sin(2x) - (1/8) * sin(4x) + C3,

где C3 = - 2 * (C1 - C2) - 1/2.

Таким образом, неопределенный интеграл от sin^2(x) * cos(x) dx равен sin^3(x) - x + (1/2) * sin(2x) - (1/8) * sin(4x) + C3, где C3 - постоянная интегрирования.