Question

Найти неопределенные интегралы 1) x^2 dx/(x^2-5x+6) 2)(sqrt (1-x^2 ))xdx (под корнем только 1-x^2)

Answer 1

∫x²dx/(x²-5x+6)=   { x²-5x+6=(x-2)(x-3)}
=∫(-4/(x-2)+9/(x-3)+1)dx=-4log(x-2)+9log(x-3)+x+c

∫√(1-x²)*xdx   u=1-x²  du=-2xdx
-1/2∫√udu=-u^(3/2)/3=-1/3(1-x²)^(3/2)+c

Answer 2

Неопределенные интегралы

Интегралы являются важным понятием в математике и представляют собой обратную операцию дифференцирования. Неопределенный интеграл функции F(x) обозначается как ∫F(x)dx и представляет собой семейство функций, производная которых равна исходной функции F(x).

Рассмотрим два примера неопределенных интегралов, которые вы указали:

1) ∫(x^2)dx/(x^2-5x+6)

Для вычисления этого интеграла можно воспользоваться методом частичных дробей. Сначала разложим дробь на простые дроби:

(x^2)dx/(x^2-5x+6) = A/(x-3) + B/(x-2)

Чтобы найти значения A и B, умножим обе части равенства на (x-3)(x-2):

x^2 = A(x-2) + B(x-3)

Подставим значения x=2 и x=3 в это уравнение, чтобы найти значения A и B:

4 = A(2-2) + B(2-3) => 4 = -B 9 = A(3-2) + B(3-3) => 9 = A

Таким образом, получаем:

A = 9, B = -4

Теперь мы можем выразить исходную функцию как сумму простых дробей:

(x^2)dx/(x^2-5x+6) = 9/(x-3) - 4/(x-2)

Теперь произведем интегрирование каждой из простых дробей:

∫(x^2)dx/(x^2-5x+6) = ∫[9/(x-3) - 4/(x-2)]dx = 9∫(1/(x-3))dx - 4∫(1/(x-2))dx = 9ln|x-3| - 4ln|x-2| + C

где ln обозначает натуральный логарифм, а C - постоянная интегрирования.

2) ∫(sqrt(1-x^2))xdx

Для вычисления этого интеграла можно воспользоваться методом подстановки. Пусть u = 1 - x^2, тогда du/dx = -2x, или xdx = -du/2.

Заменим xdx в исходном интеграле:

∫(sqrt(1-x^2))xdx = -1/2∫sqrt(u)du

Теперь мы можем проинтегрировать sqrt(u):

-1/2∫sqrt(u)du = -1/2 * (2/3) * u^(3/2) + C = -u^(3/2)/3 + C

Теперь заменим обратно u на 1 - x^2:

-1/2 * (1 - x^2)^(3/2) + C

Таким образом, получаем окончательное выражение для интеграла:

∫(sqrt(1-x^2))xdx = -1/2 * (1 - x^2)^(3/2) + C

где C - постоянная интегрирования.

Обратите внимание, что данные ответы предоставлены в предположении, что интегралы берутся на всей области определения функций. Если вам нужно ограничить область интегрирования, укажите соответствующие пределы интегрирования.