Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями: у= (1/4)х², у=х

Answer 1

Найдем их точки пересечения
1/4 x ^2 = x
x^2 - 4x = 0
x(x-4) = 0
x = 0
x = 4
$\int\limits^4_0 {x} \, dx = \frac{x^{2} }{2} = 8$
$\int\limits^4_0 { \frac{ x^{2} }{4} } \, dx = \frac{ x^{3}}{12} = 16/3$
8 - 16/3 = (24-16)/3 = 8/3
ответ 8/3

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями у = (1/4)x² и у = x, мы можем использовать метод интегрирования. Сначала нам нужно найти точки пересечения этих двух кривых.

1. Найдем точки пересечения: Из условия у = (1/4)x² и у = x, получаем: (1/4)x² = x

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби: x² = 4x

Перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение: x² - 4x = 0

Факторизуем: x(x - 4) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 4.

2. Найдем площадь фигуры: Для нахождения площади фигуры между кривыми, мы будем интегрировать разность этих двух функций от x = 0 до x = 4.

Площадь (S) = ∫[0, 4] [(1/4)x² - x] dx

Выполняем интегрирование: S = [1/4 * (1/3)x³ - (1/2)x²] |[0, 4]

S = [1/12 * 4³ - (1/2) * 4²] - [1/12 * 0³ - (1/2) * 0²]

S = [1/12 * 64 - 8] - [0 - 0]

S = [64/12 - 8]

S = 16/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = (1/4)x² и у = x, равна 16/3 или около 5.33 квадратных единиц.