Question

Найдите точку максимума функции y=x3+6x2+11

Answer 1

Y'=3x²+12x
3x²+12x=0→3x(x+4)=0→x=0,x=-4
Исследуем знак производной в интервалах x<-4, -4<x<0, x>0
y'(-5)=3×25+12×(-5)=75-60=15>0
y'(-2)=3×4+12×(-2)=12-24=-12<0
y'(2)=3×4+12×2=12+24=36>0
При переходе через точку х=-4 производная функции меняет знак с + на -, значит в точке х=-4 максимум, y(-4)=(-4)³+6(-4)²+11=-64+96+11=43

Answer 2

Для того чтобы найти точку максимума функции \( y = x^3 + 6x^2 + 11 \), мы можем воспользоваться производными.

Нахождение производной

Для начала найдем производную данной функции. Для этого возьмем производную от каждого члена по отдельности: \( y' = \frac{d}{dx} (x^3) + \frac{d}{dx} (6x^2) + \frac{d}{dx} (11) \).

Производная \( \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1} \), где \( n \) - степень.

Таким образом, мы получаем: \( y' = 3x^2 + 12x \).

Нахождение точки максимума

Чтобы найти точку максимума, мы можем приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение: \( 3x^2 + 12x = 0 \).

Решение уравнения

Факторизуем уравнение: \( 3x(x + 4) = 0 \).

Отсюда мы получаем два корня: \( x = 0 \) и \( x = -4 \).

Определение типа экстремума

Чтобы определить тип экстремума, мы можем воспользоваться второй производной. Если вторая производная отрицательна в точке, то это максимум. Если положительна, то минимум. Если равна нулю, то тест не дает определенного результата.

Нахождение второй производной

Возьмем вторую производную функции \( y' \): \( y'' = \frac{d}{dx} (3x^2 + 12x) = 6x + 12 \).

Определение типа экстремума в найденных точках

Подставим \( x = 0 \) и \( x = -4 \) во вторую производную: \( y''(0) = 6*0 + 12 = 12 \) - положительное число, значит, у точки \( x = 0 \) имеем минимум. \( y''(-4) = 6*(-4) + 12 = -24 + 12 = -12 \) - отрицательное число, значит, у точки \( x = -4 \) имеем максимум.

Ответ

Таким образом, мы нашли точку максимума функции \( y = x^3 + 6x^2 + 11 \). Точка максимума находится в точке \( x = -4 \), и значение функции в этой точке равно \( y = -37 \).