Question

Пожалуйста, очень срочно.1) Упростить Cos(альфа-Пи)*ctg(Пи/2+альфа)*sin(4Пи-альфа) / sin(5Пи+альфа)*ctg(3Пи/2-альфа)2) Вычислить:sinA(альфа), cosA, tgA, если ctgA=корень из 2, Пи<А<3Пи/23) Доказать тождество:ctg^A-tg^A / 1-tg^A = 1/sin^A4) sin77*sin13

Answer 1

$1.\frac{\cos(\alpha-\pi)\cdot ctg(\frac{\pi}2-\alpha)\cdot\sin(4\pi-\alpha)}{\sin(5\pi+\alpha)\cdot ctg(\frac{3\pi}2-\alpha)}=\frac{\cos(\pi-\alpha)\cdot ctg(\frac{\pi}2-\alpha)\cdot\sin(4\pi-\alpha)}{\sin(5\pi+\alpha)\cdot ctg(\frac{3\pi}2-\alpha)}=\\=\frac{-\cos\alpha\cdot tg\alpha\cdot(-\sin\alpha)}{-\sin\alpha\cdot tg\alpha}=-\cos\alpha$

$></p><p><img src=$

$=\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac1{\sin^2\alpha}\\\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}}{2}\\4.\sin77\sin13=\frac{\cos64-\cos90}2=\frac{\cos64}2$

Answer 2

1) Упрощение выражения:

Упростим поэтапно: Cos(альфа-Пи) = -cos(Пи-альфа) = -cos(альфа) ctg(Пи/2+альфа) = 1/tan(Пи/2+альфа) = 1/-tan(альфа) = -cot(альфа) sin(4Пи-альфа) = -sin(альфа) sin(5Пи+альфа) = -sin(альфа) ctg(3Пи/2-альфа) = 1/tan(3Пи/2-альфа) = 1/tan(альфа) = cot(альфа)

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: (-cos(альфа) * -cot(альфа) * -sin(альфа)) / (-sin(альфа) * cot(альфа))

Видим, что в числителе и знаменателе есть множители, которые взаимно сокращаются: (-cos(альфа) * -1) / (-1) = cos(альфа)

Таким образом, упрощенное выражение равно cos(альфа).

2) Вычисление sinA(альфа), cosA, tgA, если ctgA = корень из 2, Пи < А < 3Пи/2:

Для начала найдем tgA, используя формулу tgA = 1/ctgA: tgA = 1 / √2

Затем, используя тригонометрическое тождество tg^2(A) + 1 = sec^2(A), найдем cosA: cosA = √(1 / (tg^2(A) + 1)) = √(1 / (1/2 + 1)) = √(1 / (3/2)) = √(2/3)

Далее, используя тригонометрическое тождество sin^2(A) + cos^2(A) = 1, найдем sinA: sinA = √(1 - cos^2(A)) = √(1 - 2/3) = √(1/3)

Таким образом, sinA(альфа) = √(1/3), cosA = √(2/3), tgA = 1/√2.

3) Доказательство тождества: ctg^A - tg^A / (1 - tg^A) = 1 / sin^A

Для начала, заметим, что ctg^A = 1 / tgA и tg^A = 1 / ctgA.

Подставим это в исходное выражение: (1 / tgA) - (1 / ctgA) / (1 - (1 / ctgA)) = 1 / sinA

Упростим числитель и знаменатель: (1 - tgA / ctgA) / (1 - 1 / ctgA) = 1 / sinA

tgA / ctgA = sinA

tgA = sinA * ctgA

Используя тригонометрическое тождество tgA = sinA / cosA: sinA / cosA = sinA * (1 / sinA)

sinA / cosA = 1

Таким образом, тождество ctg^A - tg^A / (1 - tg^A) = 1 / sin^A доказано.

4) sin77 * sin13:

Чтобы вычислить это произведение, воспользуемся тригонометрическим тождеством sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB:

sin77 * sin13 = (sin(60 + 17) * sin(60 - 47)) = (sin60 * cos17 + cos60 * sin17) * (sin60 * cos47 - cos60 * sin47)

sin60 = √3/2, cos60 = 1/2

Подставим значения и упростим выражение: (sin60 * cos17 + cos60 * sin17) * (sin60 * cos47 - cos60 * sin47) = (√3/2 * cos17 + 1/2 * sin17) * (√3/2 * cos47 - 1/2 * sin47)

Таким образом, sin77 * sin13 равно (√3/2 * cos17 + 1/2 * sin17) * (√3/2 * cos47 - 1/2 * sin47).