Question

Реши задачу. На листе бумаги прямоугольной формы длиной 12 см и шириной 5 см нарисован черный квадрат, сумма длин сторон (периметр) которого 20 см. найди площадь белой части листа. Заранее спасибо.

Answer 1

Думаю так. Что то ещё надо?

Answer 2

Я попробую решить эту задачу подробно.

Пусть $x$ и $y$ - длина и ширина черного квадрата соответственно. Тогда периметр квадрата равен $2x+2y=20$, откуда следует, что $x+y=10$. Площадь квадрата равна $xy$.

Площадь белой части листа равна разности площади листа и площади квадрата. Площадь листа равна $12\times 5=60$ см$^2$. Площадь квадрата можно выразить через $x$ и $y$ как $xy$. Заметим, что $xy=(x+y)^2-2xy=10^2-2xy=100-2xy$. Тогда площадь белой части листа равна $60-xy=60-(100-2xy)=2xy-40$ см$^2$.

Чтобы найти $xy$, нужно решить уравнение $x+y=10$. Это уравнение имеет бесконечно много решений, но мы можем найти минимальное и максимальное значение $xy$ с помощью неравенства о средних. Согласно этому неравенству, среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического, то есть $\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$. Подставляя $x+y=10$, получаем $\frac{10}{2}\geq\sqrt{xy}$, или $xy\leq 25$. Равенство достигается, когда $x=y=5$. Это максимальное значение $xy$.

Аналогично, среднее геометрическое двух неотрицательных чисел не больше их среднего гармонического, то есть $\sqrt{xy}\leq\frac{2xy}{x+y}$. Подставляя $x+y=10$, получаем $\sqrt{xy}\leq\frac{2xy}{10}$, или $xy\geq 0$. Равенство достигается, когда $x=0$ или $y=0$. Это минимальное значение $xy$.

Таким образом, $xy$ может принимать любое значение от $0$ до $25$. Соответственно, площадь белой части листа может принимать любое значение от $-40$ до $10$ см$^2$. Однако, площадь не может быть отрицательной, поэтому наиболее разумным ответом будет $0$ см$^2$. Это означает, что черный квадрат занимает весь лист бумаги. В этом случае, $x=12$ и $y=5$.

Надеюсь, это помогло вам понять решение задачи. Спасибо за обращение к Bing.