Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y=sinx, y=cosx, 0≤x≤π/2

Answer 1

Ответ:

Знайдемо точки перетину цих двох функцій:

sin(x) = cos(x)

Тепер, поділимо обидві сторони на cos(x):

tan(x) = 1

Знаючи, що тангенс π/4 = 1, ми можемо записати x = π/4 як точку перетину цих двох функцій.

Тепер побудуємо графік функцій sin(x) та cos(x) в інтервалі [0, π/2], а також позначимо область між ними:

Площа під графіками sin(x) та cos(x) від x = 0 до x = π/4 дорівнює площі півкруга з радіусом 1, оскільки sin(x) ≤ cos(x) на цьому інтервалі. Тобто, площа цієї частини фігури дорівнює (1/2)π/4 = π/8.

Тепер, площа під графіками sin(x) та cos(x) від x = π/4 до x = π/2 дорівнює площі півкруга з радіусом 1 мінус площа трикутника. Радіус півкруга = 1, а висота трикутника (різниця cos(π/2) та cos(π/4)) також дорівнює 1 - 1/√2. Тоді площа трикутника дорівнює (1/2) * (1 - 1/√2) * (1/√2), і площа під графіками sin(x) та cos(x) на цьому інтервалі дорівнює π/4 - (1/2) * (1 - 1/√2) * (1/√2).

Загальна площа фігури обмеженої лініями y = sin(x) та y = cos(x), на інтервалі [0, π/2] дорівнює сумі цих двох площ:

Площа = (π/8) + [π/4 - (1/2) * (1 - 1/√2) * (1/√2)]

Площа ≈ 0.4636 квадратних одиниць.

( Відповідь не зовсім моя )

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої лініями y = sin(x), y = cos(x) і 0 ≤ x ≤ π/2, ми можемо скористатися формулою для обчислення площі під кривою. Зауважте, що ці дві функції перетинаються один раз в діапазоні 0 ≤ x ≤ π/2.

Перш за все, давайте знайдемо точку перетину цих двох функцій. Для цього вирішимо рівняння sin(x) = cos(x).

sin(x) = cos(x) tan(x) = 1 x = π/4

Таким чином, точка перетину цих двох функцій є (π/4, sin(π/4)) або (π/4, cos(π/4)).

Тепер, ми можемо обчислити площу фігури, розділивши її на дві частини: трикутник та сектор кола.

Трикутник: Один з відрізків, обмежуючих фігуру, є відрізком між точками (0, 0) і (π/4, sin(π/4)). Площа цього трикутника може бути обчислена за формулою площі трикутника: S = (1/2) * a * h, де a - довжина основи, а h - висота.

Основа a = π/4, висота h = sin(π/4). Застосуємо формулу:

S_трикутника = (1/2) * (π/4) * sin(π/4)

Сектор кола: Другий відрізок, обмежуючий фігуру, є дуга кола з центром в (0, 0) і радіусом sin(π/4). Площа сектора кола може бути обчислена за формулою площі сектора кола: S = (1/2) * r^2 * θ, де r - радіус, а θ - кут, вимірюваний в радіанах.

Радіус r = sin(π/4), кут θ = π/4. Застосуємо формулу:

S_сектора = (1/2) * (sin(π/4))^2 * π/4

Отже, загальна площа фігури, обмеженої лініями y = sin(x), y = cos(x) і 0 ≤ x ≤ π/2, буде сумою площі трикутника та площі сектора кола:

S_фігури = S_трикутника + S_сектора

Будь ласка, вирахуйте ці значення, щоб отримати площу фігури.