Question

Решить уравнение операционным методом x"+4x'+4x=4 при x(0)=0, x'(0)=2

Answer 1

Для решения данного дифференциального уравнения операционным методом (или методом Лапласа) мы можем применить следующие шаги:

1. Найдем преобразование Лапласа для обеих частей уравнения. 2. Решим полученное уравнение для X(s). 3. Найдем обратное преобразование Лапласа для X(s), чтобы получить решение во временной области.

Найти преобразование Лапласа для обеих частей уравнения

Для начала, преобразуем дифференциальное уравнение в уравнение в s-домене, используя преобразование Лапласа. Предполагая, что x(t) и его производные ограничены и удовлетворяют начальным условиям, имеем:

\[ X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\} \] \[ X'(s) = sX(s) - x(0) \] \[ X''(s) = s^2X(s) - sx(0) - x'(0) \]

Теперь преобразуем дифференциальное уравнение:

\[ x'' + 4x' + 4x = 4 \]

Применяем преобразование Лапласа к обеим сторонам уравнения:

\[ s^2X(s) - sx(0) - x'(0) + 4(sX(s) - x(0)) + 4X(s) = \frac{4}{s} \]

Решить полученное уравнение для X(s)

Теперь выразим X(s) и решим уравнение:

\[ s^2X(s) - 2s + 4sX(s) + 4X(s) = \frac{4}{s} + 2s \]

\[ X(s)(s^2 + 4s + 4) = \frac{4}{s} + 2s + 2 \]

\[ X(s) = \frac{4+2s^2 + 2s}{s(s^2 + 4s + 4)} \]

Найти обратное преобразование Лапласа для X(s)

Теперь найдем обратное преобразование Лапласа для X(s), чтобы получить решение во временной области. Для этого нам понадобится разложить дробь на простейшие:

\[ X(s) = \frac{4+2s^2 + 2s}{s(s+2)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2} + \frac{C}{(s+2)^2} \]

\[ 4+2s^2 + 2s = A(s+2)^2 + Bs(s+2) + C(s) \]

Решив уравнение для A, B и C, мы найдем обратное преобразование Лапласа для X(s), которое даст нам решение x(t) во временной области.