Question

Найти dy, d²y для функции y=1/x

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для нахождения производных первого и второго порядка для функции y = 1/x, мы будем использовать правила дифференцирования исходных функций. Давайте начнем с нахождения первой производной (dy) и затем найдем вторую производную (d²y).

Нахождение dy:

Для нахождения первой производной функции y = 1/x, мы будем использовать правило дифференцирования обратной функции. Правило гласит: Если у нас есть функция y = f(x), и x = g(y) является обратной функцией, то производная функции y по x (dy/dx) может быть найдена как 1/(dx/dy).

В нашем случае функция y = 1/x имеет обратную функцию x = 1/y.

Теперь найдем dx/dy: dx/dy = -1/y²

Используя правило, мы можем найти dy/dx: dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/(-1/y²) = -y²

Таким образом, первая производная функции y = 1/x равна dy/dx = -y².

Нахождение d²y:

Теперь мы можем найти вторую производную функции y = 1/x. Для этого мы возьмем производную первой производной.

dy/dx = -y²

Используя правило дифференцирования степени, мы можем найти d²y/dx²: d²y/dx² = d(dy/dx)/dx = d(-y²)/dx

Применяя правило дифференцирования степени, мы получаем: d²y/dx² = -2y * (dy/dx) = -2y * (-y²) = 2y³

Таким образом, вторая производная функции y = 1/x равна d²y/dx² = 2y³.

Итак, мы получили, что первая производная функции y = 1/x равна dy/dx = -y², а вторая производная равна d²y/dx² = 2y³.