Question

Найдите наименьшее значение выражения (2а-1)(2а+1)+3в(3в +4)найдите наибольшее значение произведения а*в, если известно, что 5а+4в=60, а>0в>0

Answer 1

1)$(2a-1)(2a+1)+3b(3b+4)=4(a^2+5)$
очевидно что наименьшее значение будет когда а=0,  так как квадрат всегда положительные , ответ 4*5=20

2)$5a+4b=60$ так как оба  числа положительны 
 $b=\frac{60-5a}{4}\\ P=a*b=\frac{60-5a}{4}*a$
теперь как функцию   ,    найдем производную 
 $y'=\frac{60-5a}{4}-\frac{5a}{4}\\ \frac{60-5a}{4}-\frac{5a}{4}=0\\ a=6$
 подставим 6 , и получим ответ 45 
Ответ 45 

Answer 2

Для начала найдем наименьшее значение выражения (2а-1)(2а+1)+3в(3в+4):

(2а-1)(2а+1)+3в(3в+4) = 4а^2 - 1 + 12в^2 + 12в = 4а^2 + 12в^2 + 12в - 1

Теперь найдем минимальное значение этого выражения. Для этого используем метод завершения квадрата:

4а^2 + 12в^2 + 12в - 1 = 4(а^2 + 3в^2 + 3в) - 1

Так как а^2 и в^2 не могут быть отрицательными (так как а и в больше нуля), то минимальное значение будет достигаться при а = 0 и в = 0. Тогда минимальное значение выражения будет -1.

Теперь найдем наибольшее значение произведения а*в, если известно, что 5а+4в=60, а>0, в>0.

Для этого выразим в из уравнения 5а+4в=60:

4в = 60 - 5а в = (60 - 5а)/4

Теперь подставим это значение в произведение а*в:

а*(60 - 5а)/4

Для нахождения наибольшего значения произведения найдем производную этого выражения и приравняем к нулю:

d(а*(60 - 5а)/4)/dа = 15/4 - 5а/2 15/4 - 5а/2 = 0 15/4 = 5а/2 15 = 10а а = 3/2

Теперь найдем значение в:

в = (60 - 5*(3/2))/4 в = (60 - 15/2)/4 в = (120 - 15)/8 в = 105/8

Таким образом, наибольшее значение произведения а*в достигается при а = 3/2 и в = 105/8. Подставим эти значения в произведение:

(3/2)*(105/8) = 15/16

Таким образом, наибольшее значение произведения а*в равно 15/16.