Question

Числа а1, а2, ...а21 образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма членов этой прогрессии с нечетными номерами на 15 больше суммы членов с четными номерами. Найти а12, если а20=3а9.

Answer 1

Т.к. Числа а1, а2, ...а21 образуют арифметическую прогрессию То:
а20=а1+19d
а9=а1+8d

Т.к. а20=3а9 получим:

а1+19d=3(а1+8d)
а1+19d=3а1+24d
-2a1=5d
a1=-2.5d

Сумма нечетных:
а1+а3+а5+а7+...+а19+а21
шаг в такой последовательности 2d и чисел здесь 11
Sнеч=(а1+а21)*11/2=(a1+a1+20d)*11/2=(2a1+20d)*11/2=(a1+10d)*11=(-2,5d+10d)*11=7.5d*11=82.5d

Сумма четных:
a2+a4+...+a18+a20
шаг в такой последовательности 2d и чисел здесь 10
Sчет=(а1+а20)*10/2=(a1+a1+19d)*5=(2a1+19d)*5=(2*(-2.5d)+19d)*5=(-5d+19d)*5=14d*5=70d

т.к. Sнеч-Sчет=15, то
82.5d-70d=15
12.5d=15
d=15/12.5
d=1.2

Тогда т.к. a1=-2.5d
а1=-2,5*1,2=-3

а12=а1+11d=-3+11*1,2=10,2

Ответ 10,2

Answer 2

Решение:

Дано, что числа а1, а2, ..., а21 образуют арифметическую прогрессию.

Пусть d - разность этой арифметической прогрессии.

Тогда: - а1 = а1 - а2 = а1 + d - а3 = а1 + 2d - а4 = а1 + 3d - ... - а21 = а1 + 20d

Известно, что сумма членов с нечетными номерами (а1, а3, а5, ..., а21) на 15 больше суммы членов с четными номерами (а2, а4, а6, ..., а20).

Мы можем записать это в виде уравнения:

(а1 + а3 + а5 + ... + а21) - (а2 + а4 + а6 + ... + а20) = 15

Суммируем члены с нечетными номерами: (а1 + а3 + а5 + ... + а21) = (а1 + (а1 + 2d) + (а1 + 4d) + ... + (а1 + 20d))

Суммируем члены с четными номерами: (а2 + а4 + а6 + ... + а20) = ((а1 + d) + (а1 + 3d) + (а1 + 5d) + ... + (а1 + 19d))

Теперь мы можем переписать уравнение:

(а1 + (а1 + 2d) + (а1 + 4d) + ... + (а1 + 20d)) - ((а1 + d) + (а1 + 3d) + (а1 + 5d) + ... + (а1 + 19d)) = 15

Упрощаем выражение:

а1 + (а1 + 2d) + (а1 + 4d) + ... + (а1 + 20d) - (а1 + d) - (а1 + 3d) - (а1 + 5d) - ... - (а1 + 19d) = 15

Сокращаем одинаковые слагаемые:

(21а1 + 2d + 4d + ... + 20d) - (d + 3d + 5d + ... + 19d) = 15

(21а1 + 2d(1 + 2 + ... + 10)) - (d(1 + 3 + 5 + ... + 19)) = 15

(21а1 + 2d * 10 * (10 + 1) / 2) - (d * 10 * (10 + 1) / 2) = 15

(21а1 + 20d * 11) - (d * 10 * 11) = 15

21а1 + 220d - 110d = 15

21а1 + 110d = 15

Также известно, что а20 = 3а9:

а1 + 20d = 3(а1 + 8d)

Раскрываем скобки:

а1 + 20d = 3а1 + 24d

Сокращаем слагаемые:

-2а1 + 4d = 0

Из этой системы уравнений мы можем найти значения а1 и d.

Решим систему уравнений:

21а1 + 110d = 15

-2а1 + 4d = 0

Преобразуем второе уравнение:

-2а1 = -4d

а1 = 2d

Подставляем в первое уравнение:

21(2d) + 110d = 15

42d + 110d = 15

152d = 15

d = 15 / 152

d ≈ 0.098

Теперь найдем а1:

а1 = 2d

а1 = 2 * 0.098

а1 ≈ 0.196

Теперь, когда мы знаем а1 и d, мы можем найти а12:

а12 = а1 + 11d

а12 ≈ 0.196 + 11 * 0.098

а12 ≈ 0.196 + 1.078

а12 ≈ 1.274

Таким образом, а12 ≈ 1.274.