Question

Доведіть, що натуральні числа від 1 до 16 можна виписати в рядок, але не можна по колу так, щоб сума будь- яких сусідніх була квадратом натурального числа. Даю 100!!! Максимум

Answer 1

.Розв'язання. Доведемо спочатку неможливість розташування чисел по колу. З попарних сум натуральних чисел від 1 до 16 точними квадратами є 4, 9, 16 і 25. Біля 16 має стояти 9 з одного боку. Тоді з іншого боку нема що ставити, щоб утворити суму 25, бо 9 уже використано. Тому для розташування чисел у ряд має починатися (закінчуватися) числом 16.

Відповідь: 16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15, 1, 8 або ці самі числа у зворотному порядку.

Answer 2

Щоб довести, що натуральні числа від 1 до 16 не можна виписати по колу так, щоб сума будь-яких сусідніх була квадратом натурального числа, розглянемо всі можливі комбінації сусідніх чисел.

Можливі комбінації сусідніх чисел: 1. (1, 2) - сума: 1 + 2 = 3 (не є квадратом натурального числа). 2. (2, 3) - сума: 2 + 3 = 5 (не є квадратом натурального числа). 3. (3, 4) - сума: 3 + 4 = 7 (не є квадратом натурального числа). 4. (4, 5) - сума: 4 + 5 = 9 (є квадратом натурального числа). 5. (5, 6) - сума: 5 + 6 = 11 (не є квадратом натурального числа). 6. (6, 7) - сума: 6 + 7 = 13 (не є квадратом натурального числа). 7. (7, 8) - сума: 7 + 8 = 15 (не є квадратом натурального числа). 8. (8, 9) - сума: 8 + 9 = 17 (не є квадратом натурального числа). 9. (9, 10) - сума: 9 + 10 = 19 (не є квадратом натурального числа). 10. (10, 11) - сума: 10 + 11 = 21 (не є квадратом натурального числа). 11. (11, 12) - сума: 11 + 12 = 23 (не є квадратом натурального числа). 12. (12, 13) - сума: 12 + 13 = 25 (є квадратом натурального числа). 13. (13, 14) - сума: 13 + 14 = 27 (не є квадратом натурального числа). 14. (14, 15) - сума: 14 + 15 = 29 (не є квадратом натурального числа). 15. (15, 16) - сума: 15 + 16 = 31 (не є квадратом натурального числа).

За результатами перевірки всіх можливих комбінацій сусідніх чисел від 1 до 16, бачимо, що не існує жодної комбінації, сума якої є квадратом натурального числа. Тому натуральні числа від 1 до 16 не можна виписати по колу так, щоб сума будь-яких сусідніх була квадратом натурального числа.