Question

В треугольнике АВС биссектриса АТ, перпендикулярная медиане ВМ пересекает ее в точке Р. Найдите сторону ВС, если A = 60° и PM=8 см​

Answer 1

Ответ:

$16\sqrt 3$

Пошаговое объяснение:

В треугольнике $ABM$ биссектриса $AP$ одновременно является высотой, следовательно, этот треугольник равнобедренный, $BP = PM = 8.$ Поскольку угол при его вершине равен $60^\circ ,$ он равносторонний, $AB = BM = AM = MC = 16.$

Так как треугольник $BMC$ равнобедренный и угол $BMC$ равен $120^\circ ,$ то $\angle MBC = \angle MCB = 30^\circ .$

Таким образом, $\angle ABC = \angle ABM + \angle MBC = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ .$

Тогда $BC = AB{\mathop{\rm ctg}\nolimits} 30^\circ = 16\sqrt 3.$

Answer 2

Дано, что в треугольнике \(ABC\) биссектриса \(AT\) (из вершины \(A\)) перпендикулярна медиане \(BM\) и пересекает её в точке \(P\), и \(∠A = 60°\) и \(PM = 8\) см.

Давайте воспользуемся свойствами биссектрисы и медианы в треугольнике.

1. Биссектриса: Биссектриса делит угол \(A\) на два равных угла. Так как \(∠A = 60°\), то угол \(BAT = ∠CAT = 30°\).

2. Медиана: Медиана делит сторону \(BC\) пополам. Пусть \(BM = MC = x\) (где \(x\) — длина части \(BC\) между точкой \(B\) и \(M\)).

3. По условию задачи: Также у нас дано, что \(PM = 8\) см.

4. Решение: Так как \(PM\) — отрезок медианы, и известно, что медиана делит сторону \(BC\) пополам, то \(PM = \frac{1}{2}BM = \frac{1}{2}x\). Поэтому \(\frac{1}{2}x = 8 \Rightarrow x = 2 \times 8 = 16\) см.

Теперь, когда мы знаем, что \(BM = MC = 16\) см, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения стороны \(BC\):

В треугольнике \(ABC\), \(∠B = 60°\) (поскольку сумма углов в треугольнике равна \(180°\) и \(∠A + ∠B + ∠C = 180°\) в треугольнике \(ABC\)). Также, \(BM = MC = 16\) см.

Теперь применим теорему косинусов:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(∠B)\]

\[BC^2 = BC^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot