Question

С каждым трехзначным числом проводится такая операция: цифры десятков и единиц в его десятичной записи меняют местами, после чего находят модуль разности исходного и полученного числа. Какое количество полученных в результате чисел делится без остатка на 72?

Answer 1

Ответ:

36

Пошаговое объяснение:

пусть a, b, c ∈N и  a, b, c ≤9, a≠0, тогда наше трехзначное число A можно записать так:

A=100a+10b+c.

Поменяем местами цифры десятков и единиц, и получим число B:

B=100a+10c+b.

Найдем число С, как модуль разности A и B:

С=IA-BI=I100a+10b+c-(100a+10c+b)I=I9b-9cI=9*Ib-cI

Чтобы число С делилось на 72 необходимо и достаточно, чтобы Ib-cI равнялось 8.

Запишем это, вспомнив, что b и c - цифры:

Ib-cI=8;

несложно методом подбора решить это уравнение:

b=9; c=1;

b=8; c=0;

b=1; c=9;

b=0; c=8.

Т.о. получаем четыре варианта двух последних цифр трехзначного числа. А т.к. первая цифра может быть любой (кроме цифры 0), то всего искомых трехзначных чисел может быть 9*4=36.

Примеры чисел:

191, 180, 119, 108

291, 280, 219, 208

...

991, 980, 919, 908

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте разберемся как происходит операция с трехзначными числами. Предположим, у нас есть трехзначное число, например, 123.

Операция:

1. Меняем местами цифры десятков и единиц. В нашем случае, это будет 132. 2. Находим модуль разности исходного числа и полученного числа. В нашем случае, это будет |123 - 132| = 9.

Теперь у нас есть число 9. Мы хотим найти количество чисел, полученных в результате операции, которые делятся без остатка на 72.

Решение:

Чтобы найти количество чисел, мы должны перебрать все трехзначные числа и проверить, делятся ли они без остатка на 72 после операции.

Мы можем использовать цикл для перебора всех трехзначных чисел от 100 до 999. В каждой итерации цикла, мы будем выполнять операцию, как описано выше, и проверять деление полученного числа на 72 без остатка.

Давайте реализуем это в коде:

count = 0

for num in range(100, 1000):
    # Меняем местами цифры десятков и единиц
    swapped_num = int(str(num)[0] + str(num)[2] + str(num)[1])
    
    # Находим модуль разности исходного числа и полученного числа
    diff = abs(num - swapped_num)
    
    # Проверяем деление полученного числа на 72 без остатка
    if diff % 72 == 0:
        count += 1

print(f"Количество чисел, которые делятся без остатка на 72: {count}")

Запустив этот код, мы получим количество чисел, которые удовлетворяют условию и делятся без остатка на 72 после операции с трехзначными числами.