Question

В 7^А ​классе учится 20 человек, и все они очень любят многопользовательские компьютерные игры. Каждый из учащихся играет в одну или две таких игры. При этом для любых 2 учащихся найдется общая игра (в которую играют оба). Найдите наибольшее N, такое, что гарантированно найдется игра, в которую играют не менее N учащихся.

Answer 1

Для решения задачи предположим, что ситуация, когда в каждую игру играет не более 13 человек, возможна. Разделим учеников на три группы: 7+7+6 человек. Предположим, что первая группа играет в игры $A$ и $B$, вторая - в $B$ и $C$, а третья - в $A$ и $C$. Таким образом, все условия задачи выполняются.

Однако, докажем, что данное предположение неверно. Выберем самую популярную игру (обозначим ее $A$). Поскольку играющих в нее учеников не больше 13, обязательно найдется хотя бы один ученик (обозначим его $x$), который в нее не играет. Рассмотрим пары каждого ученика из игры $A$ с $x$. По условию, должна существовать общая игра с каждой из 13 попарных сочетаний, причем эта игра не может совпадать с $A$. Поскольку всего игр не более 2, обозначим оставшиеся игры $B$ и $C$.

Рассмотрим теперь другого ученика (обозначим его $y$) из тех, кто не играет в игру $A$. По условию, он должен иметь общую игру с каждым из тех, кто играет в $A$ и $B$, но это не может быть игра $A$, следовательно, он играет в игру $B$. Аналогично можно доказать, что $y$ также играет в игру $C$. Таким образом, все остальные ученики играют в игры $B$ и $C$, и других игр в этой ситуации не существует.

Обозначим $|A|$ - количество учеников, играющих в $A$, и аналогично $|B|$ и $|C|$ для игр $B$ и $C$ соответственно. Так как каждый ученик был учтен дважды (по числу игр, в которые он играет), получаем уравнение $|A| + |B| + |C| = 40$. Однако это противоречит предположению, что $|A| \leq 13, |B| \leq 13,$ и $|C| \leq 13$, так как сумма не может превышать 39. Таким образом, предположение о том, что в каждую игру играет не более 13 человек, неверно, и наибольшее возможное значение N равно 14. Таким образом, гарантированно найдется игра, в которую играют не менее 14 учеников."

Это решение продемонстрировало, что ситуация, когда в каждую игру играет не более 13 человек, невозможна, и определено, что гарантированно найдется игра, в которую играют не менее 14 учеников.

Answer 2

Ответ:

Наибольшее число N, при котором гарантированно существует игра, в которую играют не менее N студентов, равно 20. Это объясняется тем, что если каждый студент играет в одну или две игры, и для любых двух студентов есть общая игра, то каждый студент должен играть хотя бы в одну игру, которая является общей для всех 20 студентов в классе. Поэтому наибольшее число N, при котором гарантированно найдется игра, в которую играют не менее N учеников, равно 20.

Answer 3

Итак, в 7-м классе учится 20 человек, все они любят многопользовательские компьютерные игры, и каждый из них играет в одну или две таких игры. При этом для любых двух учащихся найдется общая игра, в которую играют оба. Нам нужно найти наибольшее N, такое, что гарантированно найдется игра, в которую играют не менее N учащихся.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться принципом Дирихле, который гласит, что если N+1 объектов распределены по N ящикам, то в одном из ящиков будет не менее двух объектов.

В нашем случае, объектами являются учащиеся, а ящиками - игры. Мы хотим найти наибольшее N, такое, что гарантированно найдется игра, в которую играют не менее N учащихся. Это означает, что мы должны распределить 20 учащихся по играм таким образом, чтобы в каждой игре было не менее N учащихся.

Используя принцип Дирихле, мы можем сделать следующее предположение: если каждый учащийся играет только в одну игру, то максимальное количество игр, в которые играют не менее N учащихся, будет равно N-1. Если каждый учащийся играет в две игры, то максимальное количество игр, в которые играют не менее N учащихся, будет равно 2N-1.

Таким образом, наибольшее N, такое, что гарантированно найдется игра, в которую играют не менее N учащихся, будет равно 19.

Пояснение: Если каждый учащийся играет только в одну игру, то максимальное количество игр, в которые играют не менее 19 учащихся, будет равно 18. Если каждый учащийся играет в две игры, то максимальное количество игр, в которые играют не менее 19 учащихся, будет равно 37.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.