Question

Y'cosx=(y+1)sinx при y(0)=0 прошу помочь с уравнением

Answer 1

Я такое не знаю ………….

Answer 2

Данное уравнение выглядит как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Давайте решим его.

Уравнение: \(y'\cos(x) = (y+1)\sin(x)\), начальное условие: \(y(0) = 0\).

1. Разделим обе стороны уравнения на \(\cos(x)\): \[\frac{y'}{\cos(x)} = \frac{y+1}{\sin(x)}\]

2. Теперь проинтегрируем обе стороны. Левая сторона интегрируется относительно \(y\), а правая - относительно \(x\): \[\int \frac{1}{\cos(x)} \,dy = \int \frac{y+1}{\sin(x)} \,dx\]

3. Интегрируем левую сторону. Для удобства заменим \(\sec(x)\) на \(u\): \[\int \frac{1}{\cos(x)} \,dy = \int \frac{y+1}{\sin(x)} \,dx\] \[\int \sec(x) \,dy = \int \frac{y+1}{\sin(x)} \,dx\] \[\ln|\sec(x) + \tan(x)| = -\cos(x) - \cot(x) + C_1\] (где \(C_1\) - постоянная интегрирования)

4. Теперь решим уравнение относительно \(y\). Возьмем экспоненту от обеих сторон: \[\sec(x) + \tan(x) = e^{-\cos(x) - \cot(x) + C_1}\]

5. Решение уравнения \(y\) получается выражением \(\sec(x) + \tan(x)\) умноженным на константу \(C_2\), которую можно определить, используя начальное условие \(y(0) = 0\): \[y(x) = C_2(\sec(x) + \tan(x))\]

Таким образом, это уравнение дифференциальных уравнений имеет бесконечное множество решений, параметризованных константой \(C_2\).