Question

Через протилежні сторони чотири- кутника ABCD проведені попарно паралельні площини. Доведіть, що чотирикутник ABCD паралелограм.​

Answer 1

Відповідь:Оскільки попарні площини AB і CD, а також BC і AD є паралельними, то кут між AB і CD дорівнює куту між BC і AD (оскільки вони збігаються з відповідними кутами між попарними площинами). Оскільки протилежні кути чотирикутника ABCD дорівнюють один одному (AB паралельне CD і BC паралельне AD), то чотирикутник ABCD має дві паралельних сторони і два паралельних кути, що свідчить про те, що він є паралелограмом.

Покрокове пояснення:

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограмом, нам необходимо использовать условия параллельности плоскостей.

Из условия задачи следует, что попарно проведенные плоскости параллельны между собой. Это значит, что плоскости, на которых лежат противоположные стороны четырехугольника ABCD, параллельны. Обозначим эти плоскости как P1 и P3 (где P2 и P4 соответствуют двум другим противоположным сторонам ABCD).

Теперь предположим, что четырехугольник ABCD не является параллелограмом. В этом случае существует хотя бы одна диагональ, которая не является высотой, медианой или биссектрисой четырехугольника ABCD.

Рассмотрим диагональ AC. Пусть точка пересечения диагоналей AC и BD обозначается как O.

Поскольку диагональ AC не является высотой, медианой или биссектрисой четырехугольника ABCD, она образует угол с одной или обеими плоскостями P1 и P3, отличающийся от 90 градусов.

Рассмотрим треугольник AOC. Пусть прямая, проходящая через точку O и перпендикулярная плоскости P1, пересекает сторону AB в точке E.

Поскольку плоскость P1 параллельна плоскости P3, то угол ACB равен углу BEC. Рассмотрим треугольник BEC. Из построения следует, что угол BEC равен 90 градусам, так как E лежит на перпендикулярной плоскости к P1. Это означает, что угол ACB также равен 90 градусам.

Таким образом, получается, что угол ACB является как прямым, так и отличающимся от 90 градусов – это противоречие.

Значит, наше предположение о том, что ABCD не является параллелограмом, неверно. Следовательно, ABCD – параллелограм.