Question

Доведіть, що функція F(x) є первісною для функції f(x) на заданому проміжку: 1) F(x) = (4х – 1)(3х + 2); f(x) = 24x + 5; х Î (–¥; +¥); 2)F(x)=10х–2,5 x; f(x)= -203 ; хÎ(0;+¥).

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Щоб довести, що функція F(x) є первісною для функції f(x), необхідно показати, що похідна від F(x) дорівнює f(x).

F(x) = (4x – 1)(3x + 2); f(x) = 24x + 5; x є (-∞, +∞)

Спочатку знайдемо похідну від F(x):

F'(x) = (4x – 1)'(3x + 2) + (4x – 1)(3x + 2)' (добуток по формулі диференціювання добутку)

= 4(3x + 2) + (4x – 1)3 (похідні від x та константи)

= 12x + 8 + 12x – 3

= 24x + 5

Отже, ми отримали функцію, яка дорівнює f(x). Оскільки похідна від F(x) дорівнює f(x), це означає, що F(x) є первісною для f(x) на проміжку (-∞, +∞).

F(x) = 10x – 2,5x; f(x) = -203; x є (0, +∞)

Знову знайдемо похідну від F(x):

F'(x) = (10x)' – (2,5x)' (різниця по формулі диференціювання суми)

= 10 – 2,5

= 7,5

Отже, F'(x) = 7,5, що не дорівнює f(x) = -203. Тому функція F(x) не є первісною для f(x) на проміжку (0, +∞).

Answer 2

1) Для доведення того, що функція f(x) є первісною для функції f(x) на заданому проміжку, необхідно показати, що похідна функції f(x) на цьому проміжку дорівнює функції f(x). Для цього обчислимо похідну функції f(x):

f'(x) = (4x – 1)(3x + 2)' + (4x – 1)'(3x + 2) = 4(3x + 2) + (4x – 1)(3) = 12x + 8 + 12x – 3 = 24x + 5

Отримали, що похідна функції f(x) дорівнює 24x + 5, що співпадає з функцією f(x). Тому функція f(x) є первісною для функції f(x) на заданому проміжку.

2) Для доведення того, що функція f(x) є первісною для функції f(x) на заданому проміжку, також необхідно показати, що похідна функції f(x) на цьому проміжку дорівнює функції f(x). Для цього обчислимо похідну функції f(x):

f'(x) = (10x – 2,5 + x)' = 10 + 1 = 11

Отримали, що похідна функції f(x) дорівнює 11, що не співпадає з функцією f(x) (-203). Тому функція f(x) не є первісною для функції f(x) на заданому проміжку (0; +∞).