Question

Помогите решить уравнение пожалуйста y'' + 16y = 80*e^(2*x)

Answer 1

Ответ:

y=C₁cos4x+C₂sin4x+4e²ˣ.

Пошаговое объяснение:

детали во вложении.

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, мы должны найти функцию y(x), которая удовлетворяет уравнению y'' + 16y = 80*e^(2*x).

Для начала, найдем общее решение однородного дифференциального уравнения y'' + 16y = 0, где правая часть равна нулю. Это уравнение имеет характеристическое уравнение r^2 + 16 = 0. Решая это уравнение, мы получаем два комплексных корня r1 = 4i и r2 = -4i.

Общее решение однородного уравнения имеет вид: y(x) = c1*cos(4x) + c2*sin(4x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь нам нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Мы видим, что правая часть уравнения представлена функцией 80*e^(2*x), что является частным решением однородного уравнения, но умноженным на 80*e^(2*x).

Таким образом, для нахождения частного решения мы предполагаем, что y_particular(x) = A*e^(2*x), где A - неизвестная постоянная.

Подставим это предположение в исходное уравнение: y_particular'' + 16*y_particular = 80*e^(2*x).

Дифференцируем дважды и подставляем y_particular в уравнение: 4A*e^(2*x) + 16A*e^(2*x) = 80*e^(2*x).

Упростим уравнение: 20A*e^(2*x) = 80*e^(2*x).

Делим на e^(2*x): 20A = 80.

Решаем уравнение и находим значение A: A = 80/20 = 4.

Таким образом, частное решение имеет вид: y_particular(x) = 4*e^(2*x).

Теперь мы можем записать общее решение неоднородного уравнения, объединив общее решение однородного уравнения и частное решение: y(x) = c1*cos(4x) + c2*sin(4x) + 4*e^(2*x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.