Question

НАЙТИ ОБЕМ ТЕЛА ВРАШЕНИЯ, ПОЛУЧЕННОГО ПРИ ВРАШЕНИИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА С ГИПОТЕНУЗОЙ 4 СМ И С ОСТРЫМ УГЛОМ ЗО ГРАДУСОВ ВОКРУГГЕПОТЕНУЗЫ

Answer 1

Задачка очень простая, ведь при вращении образуются два конуса с одинаковым основанием,"приставленные" друг к другу этими основаниями, а объём конуса, как известно, (ПИ/3)*R^2 * H, поэтому объём всей фигуры будет

V = (ПИ/3)*(R^2*H1 + R^2*H2)= (ПИ/3)*R^2*(H1+H2)= (ПИ/3)*R^2*C, где с - сторона треугольника, вокруг которой идёт вращение. Это решение в самом общем виде. Дальше идут простые вычисления, связанные с тем, как задан треугольник.

 

У тебя он прямоугольный, да еще и угол при вершине хороший - 30градусов.

Поэтому дальше вариантов решений масса, можно через тригонометрию, можно рассиатривать подобные треугольники, можно ещё что-нибудь придумать, но я предложу метод решения, так называемых "площадей", потому что он часто позволяет напрямую и просто получить результат. Суть его в том, что площадь одной и той же фигуры выражают разными формулами(по разному считают), получается уравнение, из которого всё и находится.

Итак, пусть стороны нашего прямоугольного треугольника a,b,c, а высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу  H.

Тогда, с одной стороны, площадь треугольника равна с*H/2, а с другой стороны a*b/2, поэтому

с*H = a*b, откуда H=R=a*b/c.  R- это наш радиус вращения, он же равен высоте.

a и b определить очень просто а = с/2(против 30), или с*sin(Альфа) , если любой угол. b можно определить по теореме Пифагора, получится b=c*sqr(3)/2, или c*Cos(Альфа). Таким образом,

H = (c/2) * (с*sqr(3)/2)/с = с*sqr(3)/4, или в общем виде

H = с*Sin(Aльфа)*с*Cos(Альфа)/с = с * sin(2*Альфа)/2. Осталось подставить это значение в нашу формулу объёма, как R.

 

V = (ПИ/3)* R^2*c = (ПИ/3)* с^2*3*c/16 =ПИ*с^3/16 = ПИ*4^3/16 = 4*ПИ. Или в общем виде

 

V = (ПИ/3)* R^2*c = (Пи/12)* с^3 * (sin(2*Альфа))^2

 

Вот и всё.

Я умышленно затянул решение, чтобы был понятен ход рассуждений в подобных задачах.

Answer 2

Finding the Volume of the Solid Obtained by Rotating a Right-Angled Triangle

To find the volume of the solid obtained by rotating a right-angled triangle around its hypotenuse, we can use the method of cylindrical shells. This involves integrating the circumference of the shell multiplied by its height over the interval of rotation.

Given: - Hypotenuse of the triangle = 4 cm - Acute angle opposite the hypotenuse = 30 degrees

Calculating the Volume

To calculate the volume, we can use the following steps:

1. Determine the Function for the Hypotenuse - The equation of the hypotenuse can be expressed as a function of x, where x is the distance from the origin along the hypotenuse.

2. Set Up the Integral - The integral for the volume V is given by the formula: ``` V = ∫[a, b] 2πx * f(x) * dx ``` where a and b are the limits of integration, and f(x) is the function representing the hypotenuse.

3. Evaluate the Integral - After setting up the integral, we can evaluate it to find the volume of the solid obtained by rotating the triangle around its hypotenuse.

Conclusion

By following these steps, we can calculate the volume of the solid obtained by rotating the right-angled triangle with the given dimensions.