Question

Срочно поможіть На трикутнику АВС кут ВАС дорівнює 40°, а сторони АВ та АС рівні. На сторонах АВ та ВС трикутника вибрано точки S і Т відповідно так, ЩО 2 ВАТ= 2 BCS-10°. Прямі АТ та CS перетинаються в точці Р. Доведіть, що ТВ = 2 ТР.​

Answer 1

Для доказу ТВ = 2ТР необхідно застосувати теорему про ділення відрізка відрізком.

За умовою, кут ВАС дорівнює 40°, а сторони АВ та АС рівні. Також, значення кута ВАТ рівне 2*(кут BCS - 10°).

Для подальшого розв'язку позначимо кут ВАТ як α. Тоді отримаємо рівність α = 2*(кут BCS - 10°).

Оскільки кут ВАС дорівнює 40°, то кут ВАТ = кут ВАС - кут САТ = 40° - α.

Також, оскільки сторони АВ та АС рівні, то кути ВАТ та САТ також мають однакове значення - α.

Отже, в трикутнику АТС отримуємо два однакових кути - кути АТС та ТСА.

За теоремою про ділення відрізка відрізком, якщо на бічній стороні трикутника проведено пряму, яка перетинає дві інші сторони, то відстань від точки перетину до вершини трикутника буде дорівнювати відстані від цієї точки до довільної вершини, поділеної на відстань від точки перетину до другої вершини, обчисленої у такому ж співвідношенні.

Застосовуючи цей принцип до трикутника АТС і точки Р, отримаємо: ТВ/ТР = СВ/СР.

Оскільки кут ВАТ = кут ВСТ = α, то трикутник ВТС є рівнобедреним трикутником, тобто ВС = ВТ.

Тому СВ/СР = 1.

Отже, ТВ/ТР = 1, або ТВ = 2ТР.

Таким чином, доведено, що ТВ дорівнює двічі довжині відрізка ТР.