Question

F(x)=x^ 3 -6x^ 2 +9, [-2,2] найти наибольшее и наименьшее значение функции

Answer 1

Ответ:

Наименьшее: -6,3

Наибольшее: 9,1

Answer 2

Да, конечно! Давайте разберемся с функцией \( F(x) = x^3 - 6x^2 + 9 \) на интервале \([-2, 2]\) и найдем её наибольшее и наименьшее значения.

1. Нахождение критических точек: Критические точки функции находятся, приравнивая производную к нулю: \[ F'(x) = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4) \] Уравнение \(3x(x - 4) = 0\) имеет два корня: \(x = 0\) и \(x = 4\).

2. Нахождение значений в критических точках и на концах интервала: - Подставим \(x = -2\), \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = 4\) в \(F(x)\) и найдем соответствующие значения: \[ \begin{align*} F(-2) & = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 9 \\ & = -8 + 24 + 9 \\ & = 25 \end{align*} \] \[ \begin{align*} F(0) & = 0^3 - 6 \cdot 0^2 + 9 \\ & = 9 \end{align*} \] \[ \begin{align*} F(2) & = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 \\ & = -1 \end{align*} \] \[ \begin{align*} F(4) & = 4^3 - 6 \cdot 4^2 + 9 \\ & = 25 \end{align*} \]

3. Определение наибольшего и наименьшего значений: - Наименьшее значение: минимум из полученных значений. Минимальное значение равно \(-1\) при \(x = 2\). - Наибольшее значение: максимум из полученных значений. Максимальное значение равно \(25\) при \(x = -2\) и \(x = 4\).

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале \([-2, 2]\) равно \(-1\), а наибольшее значение равно \(25\).