Question

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (0;2;1) параллельно векторам а=i+j+k и b=i+j-k

Answer 1

Пусть P(x;y;z) – произвольная точка плоскости.

Пусть P(x;y;z) – произвольная точка плоскости.Тогда векторы:

Пусть P(x;y;z) – произвольная точка плоскости.Тогда векторы:MP=(x–1;y+1;z)

Пусть P(x;y;z) – произвольная точка плоскости.Тогда векторы:MP=(x–1;y+1;z)a=(0;2;3) и b=(–1;4;2)

Пусть P(x;y;z) – произвольная точка плоскости.Тогда векторы:MP=(x–1;y+1;z)a=(0;2;3) и b=(–1;4;2)КОМПЛАНАРНЫ.

Пусть P(x;y;z) – произвольная точка плоскости.Тогда векторы:MP=(x–1;y+1;z)a=(0;2;3) и b=(–1;4;2)КОМПЛАНАРНЫ.Условие компланарности– равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов

Пусть P(x;y;z) – произвольная точка плоскости.Тогда векторы:MP=(x–1;y+1;z)a=(0;2;3) и b=(–1;4;2)КОМПЛАНАРНЫ.Условие компланарности– равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов∣∣∣∣x−10−1y+124z32∣∣∣∣=0

Пусть P(x;y;z) – произвольная точка плоскости.Тогда векторы:MP=(x–1;y+1;z)a=(0;2;3) и b=(–1;4;2)КОМПЛАНАРНЫ.Условие компланарности– равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов∣∣∣∣x−10−1y+124z32∣∣∣∣=0Раскрываем определитель по правилу треугольника:

Пусть P(x;y;z) – произвольная точка плоскости.Тогда векторы:MP=(x–1;y+1;z)a=(0;2;3) и b=(–1;4;2)КОМПЛАНАРНЫ.Условие компланарности– равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов∣∣∣∣x−10−1y+124z32∣∣∣∣=0Раскрываем определитель по правилу треугольника:4(x–1)–3(y+1)+2z–12(x–1)=0;

Пусть P(x;y;z) – произвольная точка плоскости.Тогда векторы:MP=(x–1;y+1;z)a=(0;2;3) и b=(–1;4;2)КОМПЛАНАРНЫ.Условие компланарности– равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов∣∣∣∣x−10−1y+124z32∣∣∣∣=0Раскрываем определитель по правилу треугольника:4(x–1)–3(y+1)+2z–12(x–1)=0;и получаем ответ:

Пусть P(x;y;z) – произвольная точка плоскости.Тогда векторы:MP=(x–1;y+1;z)a=(0;2;3) и b=(–1;4;2)КОМПЛАНАРНЫ.Условие компланарности– равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов∣∣∣∣x−10−1y+124z32∣∣∣∣=0Раскрываем определитель по правилу треугольника:4(x–1)–3(y+1)+2z–12(x–1)=0;и получаем ответ:8x+3y–2z–5=0

Answer 2

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку \( M(0,2,1) \) и параллельной векторам \( \mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k} \) и \( \mathbf{b} = \mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k} \), мы можем воспользоваться следующим свойством: вектор, параллельный плоскости, является нормалью к этой плоскости.

Поскольку вектор \( \mathbf{a} \) и вектор \( \mathbf{b} \) лежат в плоскости, параллельной искомой плоскости, их векторное произведение будет направлено вдоль нормали к искомой плоскости. Таким образом, векторное произведение \( \mathbf{N} \) векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) будет нормалью к плоскости.

\[ \mathbf{N} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} \]

Вычислим векторное произведение:

\[ \mathbf{N} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} \]

Разложим определитель:

\[ \mathbf{N} = (\mathbf{j} - \mathbf{k}) - (\mathbf{i} - \mathbf{k}) + (\mathbf{i} - \mathbf{j}) \]

\[ \mathbf{N} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k} \]

Теперь у нас есть нормаль \( \mathbf{N} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k} \), и мы можем использовать её и точку \( M(0,2,1) \) для записи уравнения плоскости в общем виде:

\[ \mathbf{N} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) = 0 \]

где \( \mathbf{r} \) - это произвольная точка на плоскости, а \( \mathbf{r}_0 \) - точка, через которую проходит плоскость (в данном случае, \( M(0,2,1) \)).

Подставим значения:

\[ (\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}) \cdot (\langle x, y, z \rangle - \langle 0, 2, 1 \rangle) = 0 \]

\[ (x + y + z) - (2y + z) = 0 \]

\[ x - y - z = 0 \]

Таким образом, уравнение искомой плоскости:

\[ x - y - z = 0 \]