Question

11.2. Найдите комффициент при х* в разложенин бинома ньютона 1) (x + 2)¹0, n = 3;​

Answer 1

Разложение бинома Ньютона представляет собой разложение выражения вида (a + b)^n на сумму биномиальных коэффициентов, умноженных на соответствующие степени a и b. Формула для биномиальных коэффициентов имеет вид:

\[ C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n! \) - факториал n, а \( k! \) и \( (n-k)! \) - факториалы k и (n-k) соответственно.

В вашем случае у вас есть бином \((1 + x)^{10}\) при n = 10 и x = 2. Вам нужно найти коэффициент при \(x^3\). Формула для коэффициента в биноме Ньютона имеет вид:

\[ C_k^n \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]

где k - степень переменной \(x\), а \(n-k\) - степень константы 1. В вашем случае:

\[ C_3^{10} \cdot 1^{10-3} \cdot x^3 \]

Подставим значения:

\[ C_3^{10} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 \]

Таким образом, коэффициент при \(x^3\) в разложении бинома \((1 + x)^{10}\) равен 120.