Question

Помогите пожалуйста 1. Через вершину A трикутника ABC (кут C = 120 градусів) проведено пряму AD, перпендикулярну до площини трикутника. Знайдіть довжину відрізка BD, якщо: AC = 3 см, BC = 5 см, AD = 24 см. 2. Через вершину A трикутника ABC (кут C= 60) проведено пряму AD, перпендикулярну до площини трикутника. Знайдіть величину кута ADB, якщо: AC = 16 см, BC = 21 см, AD = 19 см. 3. Через вершину A трикутника ABC (кут C = 60) проведено пряму AD, перпендикулярну до площини трикутника. AB = 13 см, BC = 15 см, AD = 6 см. Знайдіть більше (з можливих) значення довжини відрізка CD.

Answer 1

Задача 1: У трикутнику ABC, де кут C = 120 градусів, проведено пряму AD через вершину A, перпендикулярну до площини трикутника. Маємо такий вигляд:

     B
    / \
   /   \
  /     \
 /       \
A---------C
 \      /
  \    /
   \  /
    \/
    D

Задача полягає в знаходженні довжини відрізка BD.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ABD (оскільки AD перпендикулярне до BC), ми можемо записати: \[ AB^2 + BD^2 = AD^2 \]

Підставимо відомі значення: \[ AC^2 + BD^2 = AD^2 \] \[ 5^2 + BD^2 = 24^2 \] \[ 25 + BD^2 = 576 \] \[ BD^2 = 576 - 25 \] \[ BD^2 = 551 \]

Отже, \[ BD = \sqrt{551} \approx 23.42 \]

Задача 2: У трикутнику ABC, де кут C = 60 градусів, проведено пряму AD через вершину A, перпендикулярну до площини трикутника. Маємо такий вигляд:

     B
    / \
   /   \
  /     \
 /       \
A---------C
 \      /
  \    /
   \  /
    \/
    D

Задача полягає в знаходженні величини кута ADB.

Використаємо тригонометричні відношення в трикутнику ABD. Знаємо, що: \[ \tan(\angle ADB) = \frac{BD}{AD} \]

Підставимо відомі значення: \[ \tan(\angle ADB) = \frac{BD}{AD} \] \[ \tan(\angle ADB) = \frac{19}{16} \]

Знайдемо значення кута: \[ \angle ADB = \arctan\left(\frac{19}{16}\right) \]

Використовуючи калькулятор, знаходимо: \[ \angle ADB \approx 47.18 \]

Отже, величина кута ADB приблизно дорівнює 47.18 градусів.

Задача 3: У трикутнику ABC, де кут C = 60 градусів, проведено пряму AD через вершину A, перпендикулярну до площини трикутника. Маємо такий вигляд:

     B
    / \
   /   \
  /     \
 /       \
A---------C
 \      /
  \    /
   \  /
    \/
    D

Задача полягає в знаходженні більшого (з можливих) значення довжини відрізка CD.

Знову ж таки, використаємо тригонометричні відношення в трикутнику ABD. Знаємо, що: \[ \tan(\angle ADB) = \frac{BD}{AD} \]

Підставимо відомі значення: \[ \tan(\angle ADB) = \frac{BD}{AD} \] \[ \tan(60^\circ) = \frac{BD}{6} \]

Знаючи, що \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\), отримуємо: \[ \sqrt{3} = \frac{BD}{6} \]

Розв'язавши рівняння, отримуємо два можливих значення для BD: \[ BD = 6 \sqrt{3} \] або \[ BD = -6 \sqrt{3} \]

Однак, довжина відрізка CD повинна бути додатною, тому \( BD = 6 \sqrt{3} \) є більшим з можливих значень для довжини відрізка CD.