Question

3. Дана прямоугольная трапеция ABCD, угол C=угол D=90° CD = 12 см, угол ADB=45°,BH - высота, ВС:АН = 3:2. Найдите среднюю линию трапеции.

Answer 1

Ответ:

16 см .......................

Answer 2

Для решения данной задачи будем использовать свойства прямоугольной трапеции.

Обозначим точку пересечения высоты BH и средней линии MN как точку К.

В прямоугольной трапеции угол А и угол D являются прямыми углами, поэтому они составляют 90 градусов каждый.

Так как угол ADB = 45 градусов, то угол BAD = 180 - 90 - 45 = 45 градусов.

Также из условия задачи дано, что отношение BC к AN равно 3:2.

По свойству прямоугольной трапеции, высота BH является биссектрисой угла B, поэтому угол CBH делится пополам и равен 45 градусов.

Таким образом, внутри треугольника CBH у нас по две равные стороны и равный угол между ними, что означает, что треугольник CBH является равнобедренным.

Из равнобедренности треугольника CBH следует, что отрезок CH равен отрезку HB.

Теперь мы можем использовать данную информацию для того, чтобы найти отношение CK к KM.

По свойству равнобедренного треугольника, высота BH является медианой и делит основание на две равные части. Следовательно, отрезок CK равен отрезку KM.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что отношение CK к KM также равно 1:1.

Итак, средняя линия трапеции равна отрезку CK, который, по нашим выкладкам, равен отрезку KM и половине отрезка AB.

Значит, средняя линия трапеции равна 0.5 * AB.

Чтобы найти длину средней линии, нам необходимо найти длину отрезка AB.

Обозначим длину отрезка AB как х.

Так как отношение BC к AN равно 3:2, мы можем записать уравнение:

BC/AN = 3/2

BC = (3/2) * AN

Так как BC = AB - AN, то

(3/2) * AN = AB - AN

5/2 * AN = AB

AN = (2/5) * AB

Также из прямоугольности трапеции известно, что cd = 12 см.

По теореме Пифагора в треугольнике ABC получаем:

AB^2 = (BC^2 + AC^2)

AB^2 = (AB - AN)^2 + AC^2

Подставляем значения, получаем:

х^2 = (х - (2/5)*х)^2 + 12^2

х^2 = (3/5) * х^2 + 144

(2/5) * х^2 = 144

х^2 = (5/2) * 144

х = sqrt((5/2) * 144)

х = sqrt(360)

х = 6 * sqrt(10)

Итак, мы нашли длину отрезка AB, теперь найдем длину средней линии:

Средняя линия = 0.5 * AB = 0.5 * 6 * sqrt(10) = 3 * sqrt(10)

Таким образом, средняя линия трапеции равна 3 * sqrt(10) см.