Question

Помогите пожалуйста очень срочно, если не трудно. integrate (3x - 1)/((x - 3)(x + 2)) dx

Answer 1

Да, конечно! Я могу помочь с этим интегралом. Давайте посмотрим на интеграл:

∫(3x - 1)/((x - 3)(x + 2)) dx

Для начала, давайте разложим дробь на простые дроби, используя метод частных дробей. Воспользуемся формулой:

1/((x - 3)(x + 2)) = A/(x - 3) + B/(x + 2)

Домножим обе стороны на ((x - 3)(x + 2)), чтобы избавиться от знаменателя:

1 = A(x + 2) + B(x - 3)

Раскроем скобки:

1 = (A + B)x + 2A - 3B

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x. Слева у нас есть константа 1, поэтому A + B = 0.

Также у нас есть A + 2A - 3B = 0. Это даёт нам следующую систему уравнений:

A + B = 0 3A - 3B = 1

Решим эту систему уравнений. Приравняем первое уравнение к B:

A = -B

Подставим это во второе уравнение:

3(-B) - 3B = 1

-6B = 1

B = -1/6

Теперь найдем значение A:

A = -B = -(-1/6) = 1/6

Итак, мы получили, что:

1/((x - 3)(x + 2)) = 1/6(x - 3) - 1/6(x + 2)

Теперь мы можем заменить исходный интеграл:

∫(3x - 1)/((x - 3)(x + 2)) dx = ∫(1/6(x - 3) - 1/6(x + 2)) dx

Раскроем скобки:

∫(1/6(x - 3) - 1/6(x + 2)) dx = ∫(x/6 - 1/2) dx

Теперь проинтегрируем каждый член по отдельности:

∫(x/6 - 1/2) dx = (1/6)∫x dx - (1/2)∫1 dx

∫x dx = (1/2)x^2 + C1

∫1 dx = x + C2

Теперь подставим обратно в нашу исходную формулу:

(1/6)((1/2)x^2 + C1) - (1/2)(x + C2)

Упростим:

(1/12)x^2 + (1/6)C1 - (1/2)x - (1/2)C2

Теперь добавим константу интегрирования C:

(1/12)x^2 - (1/2)x + (1/6)C

Итак, окончательный ответ на интеграл ∫(3x - 1)/((x - 3)(x + 2)) dx равен:

(1/12)x^2 - (1/2)x + (1/6)C + C3

Где C и C3 - произвольные константы.